Definitioner
Förändra reglaget för att se varianter av motsvarande vinklar och alternativa vinklar.
- Vinkeln för ett varv är 360°.
- Två vinklar som delar en gemensam stråle kallas för intilliggande.
- Två intilliggande vinklar som ligger längs en linje kallas för kompletterande vinklar.
- Om två kompletterande vinklar är lika stora är de räta vinklar.
- En vinkel som är mindre än en rät vinkel är en spetsig vinkel.
- En vinkel som är större än en rät vinkel och mindre än två räta vinklar är en trubbig vinkel.
- En linje som skär två andra linjer kallas för en transversal. Vinklarna är motsvarande vinklar.
- Vinklarna är alternerande vinklar.
- Vinklarna är vertikala vinklar.
- Vinkeln är en yttervinkel till triangeln.
Notera: Nummer 1 har lagts till i listan även om grader inte nämns i Euklides Elementar.
GeoGebra uppgifter
Skapa en linje a genom punkterna A och B och en linje b genom punkterna C och D. Ange skärningspunkten E och vinkeln α. Placera en punkt F på linjen b.
Uppgift 1
Skapa en vinkel β i punkten F som är lika med α , och så att β blir en alternativ vinkel när en ny linje dras. Vad kan du säga om linjen a och den nya linjen?
Uppgift 2
Skapa en vinkel β i punkten F som är lika med α , och så att β blir en motsvarande vinkel när en ny linje dras. Vad kan du säga om linjen a och den nya linjen?
Satser
Sats 1 Vertikala vinklar är lika stora.
Sats 2 I varje triangel är summan av två inre vinklar mindre än två rätvinkliga vinklar.
Sats 3 Om två linjer skärs av en tvärgående linje, och om de alternerande vinklarna är lika stora, så är dessa två linjer parallella.
Sats 4 Om två parallella linjer skärs av en tvärgående linje, så är alternerande vinklar lika stora.
Sats 5 Om två linjer skärs av en tvärgående linje, och om motsvarande vinklar är lika stora, så är de två linjerna parallella.
Sats 6 Om två parallella linjer skärs av en tvärgående linje, så är motsvarande vinklar lika stora.
Sats 7 – Satsen om yttre vinklar En triangels yttre vinkel är lika med summan av de två avlägset belägna inre vinklarna.
Sats 8 Summan av de inre vinklarna i en triangel är två rätvinkliga.
Sats 9 Motsatsen till satsen om den likbenta triangeln Om två vinklar i en triangel är lika stora är triangeln likbent.
Övningar
De satser som du bör känna till innan du gör detta är: kongruensfallen SAS, SSS, ASA och satsen om vinklar i en likbent triangel.
Övningsuppgift 1
Bevisa sats 1
Övningsuppgift 2
I demonstrationen nedan är D mittpunkten för segmentet AC och även mittpunkten för segmentet BE. Så länge triangelns hörn har ordningen A, B, C moturs; summan av α och γ är mindre än två räta vinklar. Visa att γ=β. Bevisa sedan sats 2. Du får bara använda satser som redan har bevisats.
Övningsuppgift 3
Bevisa sats 3. Försök att göra ett bevis genom motsägelse, dvs. anta att din sats inte är sann; visa sedan att detta antagande leder till en motsägelse. Använd sedan sats 3 för att bevisa sats 4, ett bevis genom motsägelse fungerar även i detta fall.
Övningsuppgift 4
Använd några av de satser som bevisats hittills för att bevisa sats 5 och 6.
Övningsuppgift 5
Bekräfta sats 7 – Satsen om den yttre vinkeln. Använd bilden nedan. Linjen l är parallell med AC.
Övning 6
Bevisa sats 8.
Övning 7
Bevisa sats 9! Tips: Rita en vinkel bisektris vid en av triangelns hörn.