Summarum – Vinkler

Definitioner

1. Vinklen for en omdrejning er 360°.
2. To vinkler, der deler en fælles stråle, kaldes tilstødende.
3. To tilstødende vinkler, der ligger langs en linje, kaldes supplerende vinkler.
4. Hvis to supplerende vinkler er lige store, er de rette vinkler.
5. En vinkel, der er mindre end én ret vinkel, er en spids vinkel.
6. En vinkel, der er større end én ret vinkel og mindre end to rette vinkler, er en stump vinkel.
7. En linje, der skærer to andre linjer, kaldes en tværgående linje. Vinklerne er korresponderende vinkler.
8. Vinklerne er vekselvinkler.
9. Vinklerne er lodrette vinkler.
10. Vinklen er en udvendig vinkel til trekanten.

Note: Nummer 1 er tilføjet til listen, selv om grader ikke er nævnt i Euklids Elementer.

GeoGebra-opgaver

Skab en linje a gennem punkterne A og B og en linje b gennem punkterne C og D. Angiv skæringspunktet E og vinklen α. Placer et punkt F på linjen b.

Opgave 1

Skab en vinkel β i punktet F, der er lig med α , og således at β bliver en alternativ vinkel, når der trækkes en ny linje. Hvad kan du sige om linjen a og den nye linje?

Opgave 2

Skab en vinkel β i punktet F lig med α , og således at β bliver en tilsvarende vinkel, når der tegnes en ny linje. Hvad kan du sige om linjen a og den nye linje?

Sætninger

Sætning 1 Lodrette vinkler er lige store.

Sætning 2 I enhver trekant er summen af to indvendige vinkler mindre end to rette vinkler.

Sætning 3 Hvis to linjer skæres af en tværgående linje, og hvis de skiftende vinkler er lige store, er de to linjer parallelle.

Sætning 4 Hvis to parallelle linjer skæres af en tværgående linje, er de alternative vinkler lige store.

Sætning 5 Hvis to linjer skæres af en tværgående linje, og hvis de tilsvarende vinkler er lige store, er de to linjer parallelle.

Sætning 6 Hvis to parallelle linjer skæres af en tværlinje, så er tilsvarende vinkler lige store.

Sætning 7 – Sætningen om de udvendige vinkler En udvendig vinkel i en trekant er lig med summen af de to fjerneste indvendige vinkler.

Sætning 8 Summen af de indvendige vinkler i en trekant er to retvinklede.

Sætning 9 Den omvendte sætning om ligebenet trekant Hvis to vinkler i en trekant er lige store, så er trekanten ligebenet.

Øvelser

De sætninger, du skal kende til, inden du gør dette, er: kongruenstilfældene SAS, SSS, ASA og sætningen om vinkler i en ligebenet trekant.

Øvelse 1

Bevis sætning 1

Øvelse 2

I nedenstående demonstration er D midtpunktet af strækningen AC og også midtpunktet af strækningen BE. Så længe trekantens hjørner har rækkefølgen A, B, C mod urets retning; summen af α og γ er mindre end to rette vinkler. Vis, at γ=β. Bevis derefter sætning 2. Du må kun bruge sætninger, der allerede er bevist.

Ovelse 3

Bevise sætning 3. Prøv at lave et bevis ved modsigelse, dvs. antag, at din sætning ikke er sand; vis derefter, at denne antagelse fører til en modsigelse. Brug derefter sætning 3 til at bevise sætning 4. Et bevis ved modsigelse virker også i dette tilfælde.

Ovelse 4

Brug nogle af de hidtil beviste sætninger til at bevise sætning 5 og 6.

Ovelse 5

Bevise sætning 7 – sætning om den ydre vinkel. Brug nedenstående billede. Linjen l er parallel med AC.

Øvelse 6

Bevis sætning 8.

Øvelse 7

Bevis sætning 9! Hint: Tegn en vinkel bisektris ved et af trekantens hjørner.