Sumário – Ângulos

Definições

1. O ângulo de uma volta é 360°.
2. Dois ângulos que partilham um raio comum são chamados ângulos adjacentes.
3. Dois ângulos adjacentes que se encontram ao longo de uma linha são chamados ângulos suplementares.
4. Se dois ângulos suplementares forem iguais, são ângulos rectos.
5. Um ângulo menor que um ângulo recto é um ângulo agudo.
6. Um ângulo maior que um ângulo recto e menor que dois ângulos rectos é um ângulo obtuso.
7. Uma linha que intersecta duas outras linhas é chamada de transversal. Os ângulos são ângulos correspondentes.
8. Os ângulos são ângulos alternados.
9. Os ângulos são ângulos verticais.
10. O ângulo é um ângulo exterior ao triângulo.

Nota: O número 1 foi adicionado à lista embora os graus não sejam mencionados nos Elementos por Euclid.

Tarefas Geogebra

Faça uma linha a através dos pontos A e B, e uma linha b através dos pontos C e D. Introduza o ponto de intersecção E e o ângulo α. Coloque um ponto F na linha b.

Task 1

Faça um ângulo β no ponto F igual a α , e de modo que β se torne um ângulo alternativo quando uma nova linha for desenhada. O que você pode dizer sobre a linha a e a nova linha?

Task 2

Faça um ângulo β no ponto F igual a α , e tal que β se torne um ângulo correspondente quando uma nova linha for desenhada. O que você pode dizer sobre a linha a e a nova linha?

Theorems

Theorem 1 ângulos verticais são iguais.

Theorem 2 Em qualquer triângulo, a soma de dois ângulos interiores é inferior a dois ângulos rectos.

Theorem 3 Se duas linhas forem intersectadas por uma transversal, e se os ângulos alternados forem iguais, então as duas linhas são paralelas.

Teorema 4 Se duas linhas paralelas forem intersectadas por uma transversal, então os ângulos alternados são iguais.

Teorema 5 Se duas linhas forem intersectadas por uma transversal, e se os ângulos correspondentes forem iguais, então as duas linhas são paralelas.

Teorema 6 Se duas rectas paralelas forem intersectadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são iguais.

Teorema 7 – O Teorema do Ângulo Exterior Um ângulo exterior de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos interiores remotos.

Teorema 8 A soma dos ângulos interiores de um triângulo é dois ângulos rectos.

Theorem 9 O inverso do teorema do triângulo isósceles Se dois ângulos num triângulo são iguais, então o triângulo é isósceles.

Exercícios

Os teoremas que você deve conhecer antes de fazer isso, são: os casos de congruência SAS, SSS, ASA, e o teorema sobre ângulos num triângulo isósceles.

Exercício 1

Provar Teorema 1

Exercício 2

Na demonstração abaixo, D é o ponto médio do segmento AC e também o ponto médio do segmento BE. Desde que os vértices do triângulo tenham a ordem anti-horária A, B, C; a soma de α e γ é inferior a dois ângulos rectos. Mostrar que γ=β. Então prove o Teorema 2. Só é permitido usar teoremas que já foram provados.

Exercício 3

Provar Teorema 3. Tente fazer uma prova por contradição, ou seja, assuma que sua proposta não é verdadeira; depois mostre que essa suposição leva a uma contradição. Então use o Teorema 3 para provar o Teorema 4, uma prova por contradição funciona também neste caso.

Exercício 4

Utilizar alguns dos teoremas provados até agora para provar o Teorema 5 e 6.

Exercício 5

Provar Teorema 7 – O Teorema do Ângulo Exterior. Use a figura abaixo. A linha l é paralela ao AC.

Exercício 6

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Prove Theorem 8.

Exercício 7

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Prove Theorem 9! Dica: trace um ângulo bisectris em um dos vértices do triângulo.