Zusammenfassung – Winkel

Definitionen

1. Der Winkel einer Umdrehung beträgt 360°.
2. Zwei Winkel, die einen gemeinsamen Strahl teilen, nennt man benachbart.
3. Zwei benachbarte Winkel, die entlang einer Linie liegen, nennt man Ergänzungswinkel.
4. Wenn zwei Ergänzungswinkel gleich sind, sind sie rechte Winkel.
5. Ein Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist, ist ein spitzer Winkel.
6. Ein Winkel, der größer als ein rechter Winkel und kleiner als zwei rechte Winkel ist, ist ein stumpfer Winkel.
7. Eine Linie, die zwei andere Linien schneidet, heißt eine Transversale. Die Winkel sind korrespondierende Winkel.
8. Die Winkel sind wechselseitige Winkel.
9. Die Winkel sind senkrechte Winkel.
10. Der Winkel ist ein Außenwinkel des Dreiecks.

Anmerkung: Die Zahl 1 wurde in die Liste aufgenommen, obwohl Grad in den Elementen von Euklid nicht erwähnt wird.

GeoGebra-Aufgaben

Mache eine Linie a durch die Punkte A und B und eine Linie b durch die Punkte C und D. Gib den Schnittpunkt E und den Winkel α an. Lege einen Punkt F auf die Linie b.

Aufgabe 1

Mache im Punkt F einen Winkel β, der gleich α ist, und zwar so, dass β beim Ziehen einer neuen Linie zu einem anderen Winkel wird. Was kannst du über die Linie a und die neue Linie sagen?

Aufgabe 2

Machen Sie einen Winkel β im Punkt F gleich α , und zwar so, dass β ein entsprechender Winkel wird, wenn eine neue Linie gezeichnet wird. Was kannst du über die Linie a und die neue Linie sagen?

Sätze

Satz 1 Senkrechte Winkel sind gleich.

Satz 2 In jedem Dreieck ist die Summe von zwei Innenwinkeln kleiner als zwei rechte Winkel.

Satz 3 Wenn zwei Geraden von einer Transversale geschnitten werden und wenn die beiden Winkel gleich sind, dann sind die beiden Geraden parallel.

Satz 4 Schneiden sich zwei parallele Linien durch eine Transversale, so sind die abwechselnden Winkel gleich.

Satz 5 Schneiden sich zwei Linien durch eine Transversale, so sind die beiden Linien parallel, wenn die entsprechenden Winkel gleich sind.

Satz 6 Wenn zwei parallele Linien von einer Transversale geschnitten werden, dann sind die entsprechenden Winkel gleich.

Satz 7 – Der Außenwinkelsatz Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden entfernten Innenwinkel.

Satz 8 Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist zweimal rechtwinklig.

Theorem 9 Die Umkehrung des Satzes vom gleichschenkligen Dreieck Wenn zwei Winkel in einem Dreieck gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

Übungen

Die Theoreme, die man vorher kennen sollte, sind: die Kongruenzfälle SAS, SSS, ASA und der Satz von den Winkeln in einem gleichschenkligen Dreieck.

Übung 1

Beweise Satz 1

Übung 2

In der folgenden Demonstration ist D der Mittelpunkt des Segments AC und auch der Mittelpunkt des Segments BE. Solange die Eckpunkte des Dreiecks die Reihenfolge A, B, C gegen den Uhrzeigersinn haben, ist die Summe von α und γ kleiner als zwei rechte Winkel. Zeige, dass γ=β ist. Beweisen Sie dann Theorem 2. Du darfst nur Theoreme verwenden, die bereits bewiesen wurden.

Übung 3

Beweise Theorem 3. Versuchen Sie einen Beweis durch Widerspruch, d.h. nehmen Sie an, dass Ihr Satz nicht wahr ist; zeigen Sie dann, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann verwende Satz 3, um Satz 4 zu beweisen, ein Beweis durch Widerspruch funktioniert auch in diesem Fall.

Übung 4

Wende einige der bisher bewiesenen Sätze an, um Satz 5 und 6 zu beweisen.

Übung 5

Beweise Satz 7 – den Außenwinkelsatz. Verwende das folgende Bild. Die Gerade l ist parallel zu AC.

Übung 6

Beweise Satz 8.

Übung 7

Beweise Satz 9! Tipp: Zeichne eine Winkelhalbierende an einer der Scheitelpunkte des Dreiecks.