Samenvatting – Hoeken

Definities

1. De hoek van één omwenteling is 360°.
2. Twee hoeken die een gemeenschappelijke straal delen, worden aangrenzende genoemd.
3. Twee aangrenzende hoeken die langs een lijn liggen, worden supplementaire hoeken genoemd.
4. Als twee supplementaire hoeken gelijk zijn, zijn ze rechte hoeken.
5. Een hoek die kleiner is dan één rechte hoek is een scherpe hoek.
6. Een hoek die groter is dan één rechte hoek en kleiner dan twee rechte hoeken is een stompe hoek.
7. Een lijn die twee andere lijnen snijdt, wordt een transversaal genoemd. De hoeken zijn overeenkomstige hoeken.
8. De hoeken zijn alternerende hoeken.
9. De hoeken zijn verticale hoeken.
10. De hoek is een buitenhoek van de driehoek.

Noot: nummer 1 is aan de lijst toegevoegd, ook al worden graden niet genoemd in de Elementen van Euclides.

GeoGebra-opgaven

Maak een lijn a door de punten A en B, en een lijn b door de punten C en D. Voer het snijpunt E en de hoek α in. Leg een punt F op de lijn b.

Opgave 1

Maak in het punt F een hoek β gelijk aan α , en wel zo dat β een alternatieve hoek wordt als er een nieuwe lijn wordt getrokken. Wat kun je zeggen over de lijn a en de nieuwe lijn?

Taak 2

Maak in het punt F een hoek β gelijk aan α , en wel zo dat β een overeenkomstige hoek wordt als er een nieuwe lijn wordt getrokken. Wat kun je zeggen over de lijn a en de nieuwe lijn?

Stellingen

Stelling 1 Verticale hoeken zijn gelijk.

Stelling 2 In een willekeurige driehoek is de som van twee binnenhoeken kleiner dan twee rechte hoeken.

Stelling 3 Als twee lijnen door een transversaal worden gesneden, en als de afwisselende hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee lijnen evenwijdig.

Stelling 4 Als twee evenwijdige rechten door een transversaal worden gesneden, dan zijn de twee evenwijdige rechten gelijk.

Stelling 5 Als twee rechten door een transversaal worden gesneden, dan zijn de twee evenwijdige rechten gelijk, dan zijn de twee evenwijdige rechten gelijk.

Stelling 6 Als twee evenwijdige lijnen door een transversaal worden gesneden, en de overeenkomstige hoeken zijn gelijk.

Stelling 7 – De Buitenhoek Stelling Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee verafgelegen binnenhoeken.

Stelling 8 De som van de binnenhoeken van een driehoek is twee rechthoekige.

De stelling 9 Het omgekeerde van de gelijkbenige driehoeksstelling Als twee hoeken in een driehoek gelijk zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

Oefeningen

De stellingen die je eerst moet kennen, zijn: de congruentiegevallen SAS, SSS, ASA, en de stelling over hoeken in een gelijkbenige driehoek.

Oefening 1

Oproef stelling 1

Oefening 2

In de onderstaande demonstratie is D het midden van het lijnstuk AC en ook het midden van het lijnstuk BE. Zolang de hoekpunten van de driehoek de volgorde A, B, C tegen de wijzers van de klok in hebben, is de som van α en γ kleiner dan twee rechte hoeken. Toon aan dat γ=β. Bewijs dan Stelling 2. Je mag alleen stellingen gebruiken die al bewezen zijn.

Oefening 3

Ontdek stelling 3. Probeer een bewijs door tegenspraak te leveren, d.w.z. neem aan dat je stelling niet waar is; toon dan aan dat deze aanname tot een tegenspraak leidt. Gebruik dan Stelling 3 om Stelling 4 te bewijzen, een bewijs door tegenspraak werkt ook in dit geval.

Oefening 4

Gebruik enkele van de tot nu toe bewezen stellingen om Stelling 5 en 6 te bewijzen.

Oefening 5

Oefen Stelling 7 – De Stelling van de Buitenhoek. Gebruik het onderstaande plaatje. De lijn l is evenwijdig met AC.

Oefening 6

Ontdek stelling 8.

Oefening 7

Ontdek stelling 9! Hint: teken een hoekbissectris op een van de hoekpunten van de driehoek.