Summary – Angles

Definíciók

1. Egy fordulat szöge 360°.
2. A két, közös sugarú szöget szomszédosnak nevezzük.
3. A két szomszédos, egy egyenes mentén fekvő szöget kiegészítő szögnek nevezzük.
4. Ha két kiegészítő szög egyenlő, akkor azok derékszögek.
5. Az egy derékszögnél kisebb szög hegyesszög.
6. Az egy derékszögnél nagyobb és két derékszögnél kisebb szög tompaszög.
7. A két másik egyenest metsző egyenest transzverzálisnak nevezzük. A szögek megfelelő szögek.
8. A szögek váltakozó szögek.
9. A szögek függőleges szögek.
10. A szög a háromszög külső szöge.

Megjegyzés: Az 1. szám annak ellenére került fel a listára, hogy az Euklidész Elemekben nem említi a fokokat.

GeoGebra feladatok

Készítsünk egy a egyenest az A és B pontokon keresztül, és egy b egyenest a C és D pontokon keresztül. Adjuk meg az E metszéspontot és az α szöget. Helyezzünk egy F pontot a b egyenesre.

Feladat 1

Készítsünk az F pontban egy β szöget, amely egyenlő α-val, és olyan, hogy β egy új egyenes rajzolásakor váltószöggé váljon. Mit tudsz mondani az a egyenesről és az új egyenesről?

Feladat 2

Készíts az F pontban β szöget, amely egyenlő α-val , és olyan, hogy β megfelelő szöggé válik, amikor egy új egyenest húzunk. Mit tudsz mondani az a egyenesről és az új egyenesről?

Tételek

Tétel 1 A függőleges szögek egyenlőek.

Tétel 2 Bármely háromszögben két belső szög összege kisebb, mint két derékszög.

Tétel 3 Ha két egyenest metszik egy keresztmetszet, és a váltakozó szögek egyenlőek, akkor a két egyenes párhuzamos.

Tétel 4 Ha két párhuzamos egyenest metszik egy keresztmetszet, akkor a váltakozó szögek egyenlőek.

Tétel 5 Ha két egyenest metszik egy keresztmetszet, és ha a megfelelő szögek egyenlőek, akkor a két egyenes párhuzamos.

Tétel 6. Ha két párhuzamos egyenest metszik egy keresztmetszet, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.

Tétel 7. – A külső szögek tétele Egy háromszög külső szöge egyenlő a két távoli belső szög összegével.

Tétel 8. A háromszög belső szögeinek összege két derékszög.

Tétel 9. Az egyenlő szárú háromszög tételének fordítottja Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú.

GYakorlatok

A tételek, amiket előtte ismerned kell: az SAS, SSS, ASA kongruenciaesetek és az egyenlő szárú háromszög szögeire vonatkozó tétel.

1. gyakorlat

Bizonyítsd be az 1. tételt

2. gyakorlat

A lenti szemléltetésben D az AC szakasz középpontja és a BE szakasz középpontja is. Amíg a háromszög csúcsai az óramutató járásával ellentétes sorrendben A, B, C; az α és γ összege kisebb, mint két derékszög. Mutassuk meg, hogy γ=β. Ezután bizonyítsuk a 2. tételt. Csak olyan tételeket használhatsz, amelyeket már bizonyítottál.

3. feladat

Bizonyítsd be a 3. tételt! Próbálj meg ellentmondásos bizonyítást végezni, azaz tedd fel, hogy a tételed nem igaz; majd mutasd meg, hogy ez a feltevés ellentmondáshoz vezet. Ezután használd a 3. tételt a 4. tétel bizonyítására, az ellentmondásos bizonyítás ebben az esetben is működik.

gyakorlat 4

Az eddig bizonyított tételek közül néhányat használj az 5. és 6. tétel bizonyítására.

gyakorlat 5

Bizonyítsd be a 7. tételt – A külső szögtétel. Használd az alábbi képet. Az l egyenes párhuzamos az AC-vel.

GYakorlat 6

Bizonyítsuk be a 8. tételt.

GYakorlat 7

Bizonyítsuk be a 9. tételt! Tipp: rajzoljunk egy szögfelezőt a háromszög egyik csúcsánál.