Podsumowanie – Kąty

Definicje

1. Kąt jednego obrotu wynosi 360°.
2. Dwa kąty mające wspólną półprostą nazywamy przyległymi.
3. Dwa kąty przyległe leżące wzdłuż prostej nazywamy kątami uzupełniającymi.
4. Jeżeli dwa kąty uzupełniające są równe to są kątami prostymi.
5. Kąt, który jest mniejszy od jednego kąta prostego jest kątem ostrym.
6. Kąt, który jest większy od jednego kąta prostego i mniejszy od dwóch kątów prostych jest kątem rozwartym.
7. Prostą przecinającą dwie inne proste nazywamy poprzeczną. Kąty te są kątami odpowiadającymi.
8. Kąty te są kątami naprzemianległymi.
9. Kąty te są kątami pionowymi.
10. Kąt ten jest kątem zewnętrznym trójkąta.

Uwaga: Liczba 1 została dodana do listy, mimo że stopnie nie są wymienione w Elementach Euklidesa.

Zadania z GeoGebry

Prowadź prostą a przez punkty A i B oraz prostą b przez punkty C i D. Podaj punkt przecięcia E i kąt α. Połóż punkt F na prostej b.

Zadanie 1

Wyznacz w punkcie F kąt β równy α , i taki, że β staje się kątem naprzemianległym, gdy narysujemy nową prostą. Co można powiedzieć o prostej a i nowej prostej?

Zadanie 2

Wyznacz kąt β w punkcie F równy α , oraz taki, że β staje się kątem odpowiadającym, gdy narysujemy nową prostą. Co możesz powiedzieć o prostej a i nowej prostej?

Twierdzenia

Twierdzenie 1 Kąty pionowe są równe.

Twierdzenie 2 W dowolnym trójkącie suma dwóch kątów wewnętrznych jest mniejsza od dwóch kątów prostych.

Twierdzenie 3 Jeżeli dwie proste są przecięte poprzeczną i jeżeli kąty naprzemianległe są równe, to te dwie proste są równoległe.

Twierdzenie 4 Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte poprzeczną, to kąty naprzemianległe są równe.

Twierdzenie 5 Jeżeli dwie proste są przecięte poprzeczną i jeżeli odpowiednie kąty są równe, to te dwie proste są równoległe.

Twierdzenie 6 Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte poprzeczną, to odpowiadające im kąty są równe.

Twierdzenie 7 – Twierdzenie o kącie zewnętrznym Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch odległych kątów wewnętrznych.

Twierdzenie 8 Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym.

Twierdzenie 9 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o trójkącie równoramiennym Jeżeli dwa kąty w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny.

Ćwiczenia

Twierdzenia, które powinieneś znać przed wykonaniem tego zadania, to: przypadki kongruencji SAS, SSS, ASA oraz twierdzenie o kątach w trójkącie równoramiennym.

Ćwiczenie 1

Powiedz twierdzenie 1

Ćwiczenie 2

W poniższym rysunku, D jest środkiem odcinka AC i jednocześnie środkiem odcinka BE. O ile wierzchołki trójkąta mają kolejność przeciwną do ruchu wskazówek zegara A, B, C; suma kątów α i γ jest mniejsza od dwóch kątów prostych. Wykazać, że γ=β. Następnie udowodnij Twierdzenie 2. Wolno Ci korzystać tylko z twierdzeń, które zostały już udowodnione.

Ćwiczenie 3

Dowodź Twierdzenie 3. Spróbuj przeprowadzić dowód przez sprzeczność, tzn. załóż, że twoja teza nie jest prawdziwa; następnie pokaż, że to założenie prowadzi do sprzeczności. Następnie użyj Twierdzenia 3 do udowodnienia Twierdzenia 4, dowód przez sprzeczność działa również w tym przypadku.

Ćwiczenie 4

Użyj niektórych z dotychczas udowodnionych twierdzeń do udowodnienia Twierdzenia 5 i 6.

Ćwiczenie 5

Udowodnij Twierdzenie 7 – Twierdzenie o kącie zewnętrznym. Skorzystaj z poniższego rysunku. Prosta l jest równoległa do AC.

Ćwiczenie 6

Potwierdź Twierdzenie 8.

Ćwiczenie 7

Potwierdź Twierdzenie 9! Wskazówka: narysuj dwusieczną kąta przy jednym z wierzchołków trójkąta.