Definizioni
Cambia il cursore per vedere le varianti degli angoli corrispondenti e degli angoli alternati.
- L’angolo di una rivoluzione è 360°.
- Due angoli che condividono un raggio comune sono detti adiacenti.
- Due angoli adiacenti che giacciono lungo una linea sono detti angoli supplementari.
- Se due angoli supplementari sono uguali sono angoli retti.
- Un angolo minore di un angolo retto è un angolo acuto.
- Un angolo maggiore di un angolo retto e minore di due angoli retti è un angolo ottuso.
- Una linea che interseca due altre linee è chiamata trasversale. Gli angoli sono angoli corrispondenti.
- Gli angoli sono angoli alterni.
- Gli angoli sono angoli verticali.
- L’angolo è un angolo esterno al triangolo.
Nota: Il numero 1 è stato aggiunto alla lista anche se i gradi non sono menzionati negli Elementi di Euclide.
compiti di Geogebra
Fate passare una retta a per i punti A e B, e una retta b per i punti C e D. Inserite il punto di intersezione E e l’angolo α. Posiziona un punto F sulla retta b.
Compito 1
Fai un angolo β nel punto F uguale ad α , e tale che β diventa un angolo alternato quando si traccia una nuova linea. Cosa puoi dire della linea a e della nuova linea?
compito 2
Fai un angolo β nel punto F uguale ad α , e tale che β diventa un angolo corrispondente quando viene disegnata una nuova linea. Cosa puoi dire della linea a e della nuova linea?
Teoremi
Teorema 1 Gli angoli verticali sono uguali.
Teorema 2 In un triangolo qualsiasi, la somma di due angoli interni è minore di due angoli retti.
Teorema 3 Se due linee sono intersecate da una trasversale, e se gli angoli alterni sono uguali, allora le due linee sono parallele.
Teorema 4 Se due rette parallele sono intersecate da una trasversale, allora gli angoli alterni sono uguali.
Teorema 5 Se due rette sono intersecate da una trasversale, e se gli angoli corrispondenti sono uguali, allora le due rette sono parallele.
Teorema 6 Se due rette parallele sono intersecate da una trasversale, allora gli angoli corrispondenti sono uguali.
Teorema 7 – Teorema dell’angolo esterno Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni lontani.
Teorema 8 La somma degli angoli interni di un triangolo è due angoli retti.
Teorema 9 La conversa del teorema del triangolo isoscele Se due angoli di un triangolo sono uguali, allora il triangolo è isoscele.
Esercizi
I teoremi che dovresti conoscere prima di fare questo, sono: i casi di congruenza SAS, SSS, ASA, e il teorema sugli angoli in un triangolo isoscele.
Esercizio 1
Prova il teorema 1
Esercizio 2
Nella dimostrazione seguente, D è il punto medio del segmento AC e anche il punto medio del segmento BE. Se i vertici del triangolo hanno l’ordine antiorario A, B, C; la somma di α e γ è inferiore a due angoli retti. Dimostrare che γ=β. Poi dimostrare il Teorema 2. Puoi usare solo teoremi già dimostrati.
Esercizio 3
Prova il teorema 3. Prova a fare una prova per contraddizione, cioè supponi che la tua proposizione non sia vera; poi mostra che questa supposizione porta a una contraddizione. Poi usa il Teorema 3 per provare il Teorema 4, una prova per contraddizione funziona anche in questo caso.
Esercizio 4
Utilizza alcuni dei teoremi dimostrati finora per provare i Teoremi 5 e 6.
Esercizio 5
Prova il Teorema 7 – Teorema dell’angolo esterno. Usa l’immagine qui sotto. La retta l è parallela a AC.
Esercizio 6
Prova il teorema 8.
Esercizio 7
Prova il teorema 9! Suggerimento: disegnare un angolo bisettrico in uno dei vertici del triangolo.