Résumé – Angles

Définitions

Démonstration interactive de quelques définitions d’angles.
Changez le curseur pour voir des variantes d’angles correspondants et d’angles alternatifs.
  1. L’angle d’une révolution est de 360°.
  2. Deux angles partageant un rayon commun sont dits adjacents.
  3. Deux angles adjacents situés le long d’une ligne sont appelés angles supplémentaires.
  4. Si deux angles supplémentaires sont égaux, ils sont des angles droits.
  5. Un angle qui est plus petit qu’un angle droit est un angle aigu.
  6. Un angle qui est plus grand qu’un angle droit et plus petit que deux angles droits est un angle obtus.
  7. Une ligne coupant deux autres lignes est appelée une transversale. Les angles sont des angles correspondants.
  8. Les angles sont des angles alternés.
  9. Les angles sont des angles verticaux.
  10. L’angle est un angle extérieur au triangle.

Note : le numéro 1 a été ajouté à la liste même si les degrés ne sont pas mentionnés dans les Éléments d’Euclide.

Tâches de GeoGebra

Faites une ligne a passant par les points A et B, et une ligne b passant par les points C et D. Inscrivez le point d’intersection E et l’angle α. Placez un point F sur la ligne b.

Tâche 1

Faites un angle β au point F égal à α , et tel que β devienne un angle alternatif quand on trace une nouvelle ligne. Que pouvez-vous dire de la droite a et de la nouvelle droite ?

Tâche 2

Faites un angle β au point F égal à α , et tel que β devienne un angle correspondant lorsqu’une nouvelle ligne est tracée. Que pouvez-vous dire de la droite a et de la nouvelle droite ?

Théorèmes

Théorème 1 Les angles verticaux sont égaux.

Théorème 2 Dans tout triangle, la somme de deux angles intérieurs est inférieure à deux angles droits.

Théorème 3 Si deux lignes sont coupées par une transversale, et si les angles alternés sont égaux, alors les deux lignes sont parallèles.

Théorème 4 Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale, et si les angles alternés sont égaux.

Théorème 5 Si deux lignes sont coupées par une transversale, et si les angles correspondants sont égaux, alors lesdeux lignes sont parallèles.

Théorème 6 Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux.

Théorème 7 – Théorème de l’angle extérieur Un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs éloignés.

Théorème 8 La somme des angles intérieurs d’un triangle est deux angles droits.

Théorème 9 Le contraire du théorème du triangle isocèle Si deux angles d’un triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.

Exercices

Les théorèmes que vous devez connaître par avant, sont : les cas de congruence SAS, SSS, ASA, et le théorème sur les angles dans un triangle isocèle.

Exercice 1

Vérifier le théorème 1

Exercice 2

Dans la démonstration ci-dessous, D est le milieu du segment AC et aussi le milieu du segment BE. Tant que les sommets du triangle ont l’ordre antihoraire A, B, C ; la somme de α et γ est inférieure à deux angles droits. Montrer que γ=β. Prouvez ensuite le théorème 2. Vous n’avez le droit d’utiliser que des théorèmes déjà prouvés.

Démonstration de la somme de deux angles dans un triangle.

Exercice 3

Prouvez le théorème 3. Essayez de faire une preuve par contradiction, c’est-à-dire supposez que votre proposition n’est pas vraie ; puis montrez que cette hypothèse conduit à une contradiction. Utilisez ensuite le théorème 3 pour prouver le théorème 4, une preuve par contradiction fonctionne également dans ce cas.

Exercice 4

Utilisez certains des théorèmes prouvés jusqu’à présent pour prouver les théorèmes 5 et 6.

Exercice 5

Preuve du théorème 7 – le théorème des angles extérieurs. Utilisez l’image ci-dessous. La ligne l est parallèle à AC.

Exercice 6

Préuves du théorème 8.

Exercice 7

Préuves du théorème 9 ! Indice : dessinez un angle bisectris à l’un des sommets du triangle.

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