Resumen – Ángulos

Definiciones

1. El ángulo de una revolución es 360°.
2. Dos ángulos que comparten una semirrecta común se llaman adyacentes.
3. Dos ángulos adyacentes que se encuentran a lo largo de una línea se llaman ángulos suplementarios.
4. Si dos ángulos suplementarios son iguales son ángulos rectos.
5. Un ángulo que es menor que un ángulo recto es un ángulo agudo.
6. Un ángulo que es mayor que un ángulo recto y menor que dos ángulos rectos es un ángulo obtuso.
7. Una línea que interseca otras dos líneas se llama transversal. Los ángulos son ángulos correspondientes.
8. Los ángulos son ángulos alternos.
9. Los ángulos son ángulos verticales.
10. El ángulo es un ángulo exterior al triángulo.

Nota: Se ha añadido el número 1 a la lista a pesar de que los grados no se mencionan en los Elementos de Euclides.

Tareas de GeoGebra

Haz una recta a por los puntos A y B, y una recta b por los puntos C y D. Introduce el punto de intersección E y el ángulo α. Sitúa un punto F en la recta b.

Tarea 1

Haz un ángulo β en el punto F igual a α , y tal que β se convierta en un ángulo alterno al trazar una nueva recta. Qué puedes decir de la recta a y de la nueva recta?

Tarea 2

Haz un ángulo β en el punto F igual a α , y tal que β se convierta en un ángulo correspondiente cuando se dibuje una nueva recta. Qué puedes decir de la recta a y de la nueva recta?

Teoremas

Teorema 1 Los ángulos verticales son iguales.

Teorema 2 En cualquier triángulo, la suma de dos ángulos interiores es menor que la de dos ángulos rectos.

Teorema 3 Si dos rectas son intersecadas por una transversal, y si los ángulos alternos son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.

Teorema 4 Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces los ángulos alternos son iguales.

Teorema 5 Si dos rectas son intersecadas por una transversal, y si los ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.

Teorema 6 Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son iguales.

Teorema 7 – Teorema del ángulo exterior Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores remotos.

Teorema 8 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos ángulos rectos.

Teorema 9 La inversa del teorema del triángulo isósceles Si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles.

Ejercicios

Los teoremas que debes conocer antes de hacer esto, son: los casos de congruencia SAS, SSS, ASA, y el teorema sobre los ángulos en un triángulo isósceles.

Ejercicio 1

Comprueba el teorema 1

Ejercicio 2

En la demostración de abajo, D es el punto medio del segmento AC y también el punto medio del segmento BE. Siempre que los vértices del triángulo tengan el orden contrario a las agujas del reloj A, B, C; la suma de α y γ es menor que dos ángulos rectos. Demuestre que γ=β. A continuación, demuestre el teorema 2. Sólo se permite utilizar teoremas ya demostrados.

Ejercicio 3

Demuestra el teorema 3. Intente hacer una demostración por contradicción, es decir, suponga que su proposición no es verdadera; luego demuestre que esta suposición conduce a una contradicción. A continuación, utilice el Teorema 3 para demostrar el Teorema 4, una prueba por contradicción también funciona en este caso.

Ejercicio 4

Utilice algunos de los teoremas demostrados hasta ahora para demostrar el Teorema 5 y 6.

Ejercicio 5

Compruebe el Teorema 7 – El teorema del ángulo exterior. Utiliza la imagen de abajo. La recta l es paralela a AC.

Ejercicio 6

Demuestra el teorema 8.

Ejercicio 7

¡Demuestra el teorema 9! Pista: dibujar un ángulo bisectris en uno de los vértices del triángulo.