Yhteenveto – Kulmat

Määritelmät

1. Yhden kierroksen kulma on 360°.
2. Kahta kulmaa, jotka jakavat yhteisen säteen, kutsutaan vierekkäisiksi.
3. Kahta vierekkäistä, viivaa pitkin kulkevaa kulmaa kutsutaan täydentäviksi kulmiksi.
4. Jos kaksi lisäkulmaa on yhtä suuri, ne ovat suorakulmia.
5. Kulma, joka on yhtä suoraa kulmaa pienempi, on terävä kulma.
6. Kulma, joka on yhtä suoraa kulmaa suurempi ja kahta suoraa kulmaa pienempi, on tylppä kulma.
7. Viivaa, joka lävistää kahta toista viivaa, sanotaan poikittaiseksi. Kulmat ovat toisiaan vastaavia kulmia.
8. Kulmat ovat vuorottelevia kulmia.
9. Kulmat ovat pystykulmia.
10. Kulma on kolmion ulkokulma.

Huomautus: Numero 1 on lisätty luetteloon, vaikka asteita ei mainita Eukleideen alkuaineissa.

GeoGebra-tehtävät

Kirjoita pisteiden A ja B kautta kulkeva suora a ja pisteiden C ja D kautta kulkeva suora b. Kirjoita leikkauspiste E ja kulma α. Aseta piste F suoralle b.

Tehtävä 1

Tehdään pisteeseen F kulma β, joka on yhtä suuri kuin α ja sellainen, että β:stä tulee vaihtokulma, kun piirretään uusi suora. Mitä voit sanoa suorasta a ja uudesta suorasta?

Tehtävä 2

Tehdään pisteessä F kulma β, joka on yhtä suuri kuin α , ja sellainen, että β:stä tulee vastaava kulma, kun piirretään uusi suora. Mitä voit sanoa suorasta a ja uudesta suorasta?

Lausekkeet

Lauseke 1 Pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret.

Lauseke 2 Missä tahansa kolmiossa kahden sisäkulman summa on pienempi kuin kahden suoran kulman summa.

Lauseke 3 Jos kahta suoraa leikkaa poikittaissuuntainen kulma ja jos vuorottelukulmat ovat yhtä suuret, nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Teoreema 4 Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaissuora, niin vuorottelevat kulmat ovat yhtä suuret.

Teoreema 5 Jos kaksi suoraa leikkaa poikittaissuora, ja jos vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Teoreema 6 Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaissuora, niin vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

Teoreema 7 – Ulkokulman lause Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden etäisen sisäkulman summa.

Teoreema 8 Kolmion sisäkulmien summa on kaksi suorakulmaista.

Toe 9 Tasakylkisen kolmion lauseen käänteisluku Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen.

Harjoituksia

Teoriat, jotka sinun tulisi osata ennen tämän tekemistä, ovat: kongruenssitapaukset SAS, SSS, ASA ja lause tasakylkisen kolmion kulmista.

Harjoitus 1

Varmista lause 1

Harjoitus 2

Oheisessa havainnollistuksessa D on segmentin AC keskipiste ja myös segmentin BE keskipiste. Niin kauan kuin kolmion kärkipisteet ovat vastapäivään järjestyksessä A, B, C; α:n ja γ:n summa on pienempi kuin kaksi suorakulmaa. Osoita, että γ=β. Todista sitten lause 2. Saat käyttää vain jo todistettuja teoreemoja.

Harjoitus 3

Todista lause 3. Yritä tehdä todistus ristiriidan kautta, eli oleta, että lauseesi ei ole tosi; osoita sitten, että tämä oletus johtaa ristiriitaan. Käytä sitten teoreemaa 3 todistaaksesi lauseen 4. Todistus ristiriidan kautta toimii tässäkin tapauksessa.

Harjoitus 4

Käytä joitakin tähän mennessä todistettuja teoreemoja todistaaksesi lauseet 5 ja 6.

Harjoitus 5

Todista lause 7 – Ulkokulman lause. Käytä alla olevaa kuvaa. Suora l on yhdensuuntainen AC:n kanssa.

Harjoitus 6

Todista lause 8.

Harjoitus 7

Todista lause 9! Vihje: piirrä kolmion yhteen kärkeen kulman puolittaja.