Définitions
Changez le curseur pour voir des variantes d’angles correspondants et d’angles alternatifs.
- L’angle d’une révolution est de 360°.
- Deux angles partageant un rayon commun sont dits adjacents.
- Deux angles adjacents situés le long d’une ligne sont appelés angles supplémentaires.
- Si deux angles supplémentaires sont égaux, ils sont des angles droits.
- Un angle qui est plus petit qu’un angle droit est un angle aigu.
- Un angle qui est plus grand qu’un angle droit et plus petit que deux angles droits est un angle obtus.
- Une ligne coupant deux autres lignes est appelée une transversale. Les angles sont des angles correspondants.
- Les angles sont des angles alternés.
- Les angles sont des angles verticaux.
- L’angle est un angle extérieur au triangle.
Note : le numéro 1 a été ajouté à la liste même si les degrés ne sont pas mentionnés dans les Éléments d’Euclide.
Tâches de GeoGebra
Faites une ligne a passant par les points A et B, et une ligne b passant par les points C et D. Inscrivez le point d’intersection E et l’angle α. Placez un point F sur la ligne b.
Tâche 1
Faites un angle β au point F égal à α , et tel que β devienne un angle alternatif quand on trace une nouvelle ligne. Que pouvez-vous dire de la droite a et de la nouvelle droite ?
Tâche 2
Faites un angle β au point F égal à α , et tel que β devienne un angle correspondant lorsqu’une nouvelle ligne est tracée. Que pouvez-vous dire de la droite a et de la nouvelle droite ?
Théorèmes
Théorème 1 Les angles verticaux sont égaux.
Théorème 2 Dans tout triangle, la somme de deux angles intérieurs est inférieure à deux angles droits.
Théorème 3 Si deux lignes sont coupées par une transversale, et si les angles alternés sont égaux, alors les deux lignes sont parallèles.
Théorème 4 Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale, et si les angles alternés sont égaux.
Théorème 5 Si deux lignes sont coupées par une transversale, et si les angles correspondants sont égaux, alors lesdeux lignes sont parallèles.
Théorème 6 Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux.
Théorème 7 – Théorème de l’angle extérieur Un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs éloignés.
Théorème 8 La somme des angles intérieurs d’un triangle est deux angles droits.
Théorème 9 Le contraire du théorème du triangle isocèle Si deux angles d’un triangle sont égaux, alors le triangle est isocèle.
Exercices
Les théorèmes que vous devez connaître par avant, sont : les cas de congruence SAS, SSS, ASA, et le théorème sur les angles dans un triangle isocèle.
Exercice 1
Vérifier le théorème 1
Exercice 2
Dans la démonstration ci-dessous, D est le milieu du segment AC et aussi le milieu du segment BE. Tant que les sommets du triangle ont l’ordre antihoraire A, B, C ; la somme de α et γ est inférieure à deux angles droits. Montrer que γ=β. Prouvez ensuite le théorème 2. Vous n’avez le droit d’utiliser que des théorèmes déjà prouvés.
Exercice 3
Prouvez le théorème 3. Essayez de faire une preuve par contradiction, c’est-à-dire supposez que votre proposition n’est pas vraie ; puis montrez que cette hypothèse conduit à une contradiction. Utilisez ensuite le théorème 3 pour prouver le théorème 4, une preuve par contradiction fonctionne également dans ce cas.
Exercice 4
Utilisez certains des théorèmes prouvés jusqu’à présent pour prouver les théorèmes 5 et 6.
Exercice 5
Preuve du théorème 7 – le théorème des angles extérieurs. Utilisez l’image ci-dessous. La ligne l est parallèle à AC.
Exercice 6
Préuves du théorème 8.
Exercice 7
Préuves du théorème 9 ! Indice : dessinez un angle bisectris à l’un des sommets du triangle.