Definice
Změnou posuvníku si můžete prohlédnout varianty odpovídajících úhlů a střídavých úhlů.
- Úhel jedné otáčky je 360°.
- Dva úhly, které mají společný paprsek, se nazývají sousední.
- Dva sousední úhly ležící podél přímky se nazývají doplňkové úhly.
- Jsou-li dva doplňkové úhly stejné, jsou to úhly pravé.
- Úhel, který je menší než jeden pravý úhel, je úhel ostrý.
- Úhel, který je větší než jeden pravý úhel a menší než dva pravé úhly, je úhel tupý.
- Přímka protínající dvě jiné přímky se nazývá příčka. Úhly jsou odpovídající úhly.
- Úhly jsou střídavé úhly.
- Úhly jsou svislé úhly.
- Úhel je vnější úhel k trojúhelníku.
Poznámka: Do seznamu bylo přidáno číslo 1, přestože v Eukleidových Prvcích se stupně neuvádějí.
Úlohy Geogebry
Vyznačte přímku a procházející body A a B a přímku b procházející body C a D. Zadejte průsečík E a úhel α. Vymezte úhel α, který svírá. Umístěte bod F na přímku b.
Úloha 1
Utvořte v bodě F úhel β, který je roven α , a to takový, aby se β po nakreslení nové přímky stal úhlem alternativním. Co můžete říci o přímce a a nové přímce?
Úloha 2
Připravte úhel β v bodě F rovný α , a to takový, že β se při narýsování nové přímky stane odpovídajícím úhlem. Co můžete říci o přímce a a nové přímce?
Věty
Věta 1 Svislé úhly se rovnají.
Věta 2 V každém trojúhelníku je součet dvou vnitřních úhlů menší než dva pravé úhly.
Věta 3 Jsou-li dvě přímky protnuty příčkou a jsou-li střídavé úhly stejné, pak jsou obě přímky rovnoběžné.
Věta 4 Jsou-li dvě rovnoběžné přímky protnuty příčkou, pak se střídavé úhly rovnají.
Věta 5 Jsou-li dvě přímky protnuty příčkou a jsou-li odpovídající úhly stejné, pak jsou tyto dvě přímky rovnoběžné.
Věta 6 Jsou-li dvě rovnoběžné přímky protnuty příčkou, pak se odpovídající úhly rovnají.
Věta 7 – Věta o vnějších úhlech Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vzdálených vnitřních úhlů.
Věta 8 Součet vnitřních úhlů trojúhelníku jsou dva pravé úhly.
Věta 9 Obrácená věta o rovnoramenném trojúhelníku Jsou-li dva úhly v trojúhelníku stejné, pak je trojúhelník rovnoramenný.
Cvičení
Věty, které byste měli znát před tímto cvičením, jsou: případy shodnosti SAS, SSS, ASA a věta o úhlech v rovnoramenném trojúhelníku.
Cvičení 1
Dokažte větu 1
Cvičení 2
V následující ukázce je D středem úsečky AC a zároveň středem úsečky BE. Pokud mají vrcholy trojúhelníku protilehlé pořadí A, B, C; součet α a γ je menší než dva pravé úhly. Ukažte, že γ=β. Pak dokažte větu 2. Smíte použít pouze věty, které již byly dokázány.
Cvičení 3
Dokažte větu 3. Ukažte, že součet dvou úhlů v trojúhelníku je menší než součet dvou úhlů. Pokuste se provést důkaz popřením, tj. předpokládejte, že vaše věta není pravdivá; pak ukažte, že tento předpoklad vede k rozporu. Pak použijte větu 3 k důkazu věty 4, důkaz popřením funguje i v tomto případě.
Cvičení 4
Použijte některé z dosud dokázaných vět k důkazu věty 5 a 6.
Cvičení 5
Dokažte větu 7 – větu o vnějším úhlu. Použijte níže uvedený obrázek. Přímka l je rovnoběžná s AC.
Cvičení 6
Dokažte větu 8.
Cvičení 7
Dokažte větu 9! Nápověda: Narýsujte úhel bisectris v jednom z vrcholů trojúhelníku.