Seconda legge del moto di Newton

Questa pagina è destinata a studenti universitari e studenti delle scuole superiori che stanno studiando il calcolo. Per gli studenti più giovani, una spiegazione più semplice delle informazioni su questa pagina è disponibile nella pagina dei bambini. Per gli studenti delle scuole superiori e medie c’è un’altra versione senza calcolo.

Sir Isaac Newton presentò per la prima volta le sue tre leggi del moto nei “Principia Mathematica Philosophiae Naturalis” nel 1686. La sua seconda legge definisce che una forza è uguale al cambiamento di quantità di moto con un cambiamento di tempo. La quantità di moto è definita come la massa m di un oggetto per la sua velocità V.

Supponiamo di avere un aereo in un punto “0” definito dalla sua posizione X0 e dal tempo t0. L’aereo ha una massa m0 e viaggia alla velocità V0. L’aeroplano è sottoposto a una forza esterna F e si sposta in un punto “1”, che è descritto da una nuova posizione X1 e dal tempo t1. La massa e la velocità dell’aeroplano cambiano durante il volo ai valori m1 e V1. La seconda legge di Newton può aiutarci a determinare i nuovi valori di V1 e m1, se sappiamo quanto è grande la forza F. Usando il calcolo per descrivere la seconda legge di Newton:

F = d (m * V) / dt

Questa equazione differenziale può essere risolta con le condizioni al contorno che abbiamo descritto sopra assumendo che conosciamo la variazione della forza F in funzione del tempo.

Supponiamo che la massa rimanga un valore costante pari a m. Questa ipotesi è abbastanza buona per un aereo, l’unica variazione di massa sarebbe per il carburante bruciato tra il punto “1” e il punto “0”. Il peso del carburante è probabilmente piccolo rispetto al peso del resto dell’aeroplano, specialmente se guardiamo solo ai piccoli cambiamenti nel tempo. Se stessimo discutendo del volo di una palla da baseball, allora certamente la massa rimane costante. Ma se stessimo discutendo il volo di un razzo a bottiglia, allora la massa non rimane costante e dovremmo specificare come la massa varia nel tempo per eseguire l’integrazione. Per una massa costante m, la seconda legge di Newton è così:

F = m * dv / dt

La derivata della velocità rispetto al tempo è la definizione dell’accelerazione a. La seconda legge si riduce quindi al più familiare prodotto di una massa e un’accelerazione:

F = m * a

Ricordiamo che questa relazione è valida solo per oggetti che hanno una massa costante.Questa equazione ci dice che un oggetto sottoposto a una forza esterna accelererà e che la quantità di accelerazione è proporzionale alla grandezza della forza. La quantità di accelerazione è anche inversamente proporzionale alla massa dell’oggetto; per forze uguali, un oggetto più pesante sperimenterà meno accelerazione di un oggetto più leggero. Considerando l’equazione della quantità di moto, una forza causa un cambiamento di velocità; e allo stesso modo, un cambiamento di velocità genera una forza. L’equazione funziona in entrambi i sensi.

La velocità, la forza, l’accelerazione e la quantità di moto hanno sia una grandezza che una direzione associate ad esse. Gli scienziati e i matematici chiamano questa quantità vettoriale. Le equazioni mostrate qui sono in realtà equazioni vettoriali e possono essere applicate in ciascuna delle direzioni componenti. Abbiamo esaminato solo una direzione e, in generale, un oggetto si muove in tutte e tre le direzioni (su-giù, sinistra-destra, avanti-indietro).

Il moto di un aereo risultante dalle forze aerodinamiche, dal peso dell’aereo e dalla spinta può essere calcolato usando la seconda legge del moto. Ma c’è un problema fondamentale quando si tratta di forze aerodinamiche. Le forze aerodinamiche dipendono dal quadrato della velocità. Così l’integrazione delle equazioni differenziali diventa un po’ più complicata. Mostriamo i dettagli dell’integrazione alla pagina web sulle equazioni di volo con resistenza.

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