Drugie prawo ruchu Newtona

Ta strona jest przeznaczona dla studentów college’u i uczniów szkół średnich, którzy uczą się rachunku. Dla młodszych uczniów, prostsze wyjaśnienie informacji zawartych na tej stronie jest dostępne na stronie dla dzieci. Dla licealistów i gimnazjalistów istnieje inna wersja bez rachunku.

Sir Isaac Newton po raz pierwszy przedstawił swoje trzy prawa ruchu w „Principia Mathematica Philosophiae Naturalis” w 1686 roku. Jego drugie prawo definiuje siłę jako równą zmianie pędu przy zmianie w czasie. Moment pędu jest zdefiniowany jako masa m obiektu razy jego prędkość V.

Załóżmy, że mamy samolot w punkcie „0” zdefiniowanym przez jego położenie X0 i czas t0. Samolot ma masę m0 i porusza się z prędkością V0. Na samolot działa zewnętrzna siła F i przemieszcza się on do punktu „1”, który jest opisany przez nowe położenie X1 i czas t1. Masa i prędkość samolotu zmieniają się w czasie lotu do wartości m1 i V1. Drugie prawo Newtona może nam pomóc wyznaczyć nowe wartości V1 i m1, jeśli wiemy, jak duża jest siła F. Używając rachunku do opisu drugiego prawa Newtona:

F = d (m * V) / dt

To równanie różniczkowe można rozwiązać z warunkami brzegowymi, które opisaliśmy powyżej, zakładając, że znamy zmiany siły F w funkcji czasu.

Załóżmy, że masa pozostaje stałą wartością równą m. To założenie jest całkiem dobre dla samolotu, jedyną zmianą masy byłoby paliwo spalone pomiędzy punktem „1” a punktem „0”. Waga paliwa jest prawdopodobnie niewielka w stosunku do wagi reszty samolotu, szczególnie jeśli patrzymy tylko na małe zmiany w czasie… Gdybyśmy dyskutowali o locie piłki baseballowej, to z pewnością masa pozostaje stała. Ale gdybyśmy dyskutowali o locie rakiety z butelką, to masa nie pozostaje stała i musielibyśmy określić, jak masa zmienia się w czasie, aby przeprowadzić całkowanie. Dla stałej masy m, drugie prawo Newtona wygląda następująco:

F = m * dv / dt

Pochodna prędkości względem czasu jest definicją przyspieszenia a. Drugie prawo sprowadza się wtedy do bardziej znanego iloczynu masy i przyspieszenia:

F = m * a

Pamiętajmy, że ta zależność jest dobra tylko dla obiektów o stałej masie.To równanie mówi nam, że obiekt poddany działaniu siły zewnętrznej będzie przyspieszał i że wielkość przyspieszenia jest proporcjonalna do wielkości siły. Wielkość przyspieszenia jest również odwrotnie proporcjonalna do masy obiektu; dla jednakowych sił cięższy obiekt dozna mniejszego przyspieszenia niż lżejszy. Biorąc pod uwagę równanie momentu pędu, siła powoduje zmianę prędkości; i podobnie, zmiana prędkości generuje siłę. Równanie działa w obie strony.

Prędkość, siła, przyspieszenie i pęd mają zarówno wielkość jak i kierunek z nimi związane. Naukowcy i matematycy nazywają to wielkościami wektorowymi. Równania przedstawione tutaj są w rzeczywistości równaniami wektorowymi i mogą być stosowane w każdym z kierunków składowych. Przyjrzeliśmy się tylko jednemu kierunkowi, a na ogół obiekt porusza się we wszystkich trzech kierunkach (góra-dół, lewo-prawo, przód-tył).

Ruch samolotu wynikający z sił aerodynamicznych, masy samolotu i siły ciągu można obliczyć za pomocą drugiego prawa ruchu. Istnieje jednak podstawowy problem, gdy mamy do czynienia z siłami aerodynamicznymi. Siły aerodynamiczne zależą od kwadratu prędkości. Zatem całkowanie równań różniczkowych staje się nieco bardziej skomplikowane. Szczegóły całkowania pokazujemy na stronie o równaniach lotu z oporem powietrza.

Zajęcia:

Zwiedzanie z przewodnikiem