MacTutor

På de gamla grekernas och romarnas tid betraktades jorden som centrum för universum, som i sig var en sfär som innehöll alla stjärnor. Denna himmelsfär roterade från öst till väst och bar inte bara stjärnorna utan även solen och planeterna. Därför kretsade solen runt jorden. Det var detta som orsakade dag och natt. Jorden roterade inte. För att förstå solur är det helt acceptabelt och bekvämt att anta detta geocentriska synsätt. Solen rörde sig inte runt jorden i en cirkel i rät vinkel mot jordens axel (som också var himmelssfärens axel) som stjärnorna gjorde. Snarare följde solen en cirkel längs himmelssfären, centrerad på jorden, känd som ekliptikan.

Ekliptikan möter ekvatorialplanet vid ungefär 23,5°. Detta är känt som ekliptikans snedhet. Eklliptikans cirkel skär mer eller mindre de tolv stjärnbilderna i zodiaken, och tiden på året (som motsvarar de moderna månaderna) räknades efter vilket tecken i zodiaken solen passerade. (Oavsett den exakta placeringen av zodiakkonstellationerna delades ekliptikan in i 12 lika stora bågar på 30° vardera, vilket gjorde att de flesta av konstellationerna var ocentriska och ofta inte helt och hållet låg inom sitt angivna 30°-område). Solens rörelse längs den ekliptiska cirkeln tar ett (sol)år. Solens dubbla rörelse (på himmelssfären och längs ekliptikan) innebär att solen följer en annan bana på himlen varje dag. Från det norra halvklotets perspektiv befinner sig solen under sommaren högre upp på himlen och är synlig under en längre tid. Eftersom de gamla människorna alltid delade upp dagsljuset i tolv lika långa timmar var dessa sommartimmar längre. Under vintermånaderna står solen lägre på himlen och är synlig under en kortare tid. Följaktligen var vintertimmarna också kortare.
Tiden i den antika världen mättes först med hjälp av naturligt förekommande händelser, såsom soluppgång, solnedgång och måltidstider :-

I Roms tidiga åldrar och till och med ända fram till mitten av det femte århundradet efter stadens grundande kände man inte till några andra indelningar av dygnet än soluppgång, solnedgång och middagstid, som markerades av solens ankomst mellan Rostra och en plats som kallades Graecostasis.

Den enskilt största litterära källan som finns för solur i Grekland och Rom är Vitruvius’ Tio böcker om arkitektur som skrevs omkring 25 f.Kr. I bok 9 ger Vitruvius en lista över en mängd olika urtavlor och deras uppfinnare:

Berosus från Chaldéen sägs ha uppfunnit det halvcirkelformade ur ett fyrkantigt block och underskuret för att följa jordens lutning. Halvklotet, eller scaphê, tillskrivs Aristarchos från Samos, och han uppfann också skivan på ett plan. Spindeln uppfanns av astronomen Eudoxus; vissa säger att Apollonius uppfann den. Plinth eller Coffer, som det finns ett exempel på i Flaminius cirkus, uppfanns av Scopinas från Syrakusa; Parmenion uppfann ”Sundial for Examination”; Theodosius och Andrias soluret ”For Every Climate”, Patrocles yxan, Dionysodorus konen, Apollonius kivan. De män som nämns här uppfann andra typer, och många andra har lämnat efter sig ytterligare andra typer, som Spider-Cone, Hollowed Plinth och Antiboreus (”Opposite the North”). Många har dessutom lämnat efter sig skriftliga anvisningar för att tillverka bärbara och hängande versioner av dessa typer. Den som vill kan hitta ytterligare information i deras böcker, så länge man vet hur man sätter upp ett analemma.

Vitruvius analemma är det system av linjer och kurvor som anger de växlande timmarna och månaderna på ett solur. Hans föregående kapitel ägnas åt att bestämma analemma baserat på observationen av skuggan av en gnomon vid middagstid på dagjämningen. (Gnomonen var den upprättstående pinne som kastade sin skugga på urtavlans yta. Beroende på urtavlans utformning användes antingen sidan av skuggans längd eller positionen av skuggans spets för att bestämma tiden). Tyvärr avslutar Vitruvius sin diskussion om solur med den lista som ges ovan och skriver om vattenklockor i resten av bok 9.
Förrän grekerna utvecklade soluret till de former som Vitruvius räknar upp, hade de mer antika civilisationerna i Egypten och Mesopotamien anordningar för att mäta skuggor så tidigt som 1500 f. Kr.C. Även om detta är datumet för de tidigaste bevarade soluretterna :-

… är det möjligt att soluretterna uppfanns redan under det tredje årtusendet när egyptiska präster började dela upp natten och dagen i tolv lika stora delar vardera.

En begravningstext från 1290 f.Kr, som hänvisar till astronomiska händelser på 1800-talet f.Kr. ger instruktioner om hur man konstruerar en ”skuggpinne”.

Denna skuggklocka bestod av en bas med en upprättstående pinne i ena änden. På grund av skuggans vinkelförskjutning under dagens lopp har det spekulerats i att den upprättstående pinnen hade en tvärstång tillagd för att bredda skuggan så att den alltid skulle falla på klockan. Varken i gravtexten eller i de bevarade exemplaren finns tvärstången, även om ett exemplar har hål på vardera sidan av sin ställning som kan tyda på ett sådant tillägg.

I praktiken behövde skuggklockan vridas en gång om dagen vid middagstid för att kunna markera tiden både på morgonen och på eftermiddagen :-

Med huvudet åt öster markeras 4 timmar genom att skuggans längd avtar, varefter instrumentet vänds om med huvudet åt väster för att markera 4 eftermiddagstimmar.

Två timmar sägs ha inträffat innan solen slog på klockan på morgonen, och ytterligare två timmar passerade efter att solen lämnat klockan men innan natten började. Antagandet är att morgonskymningen före soluppgången räknades som en timme, och att ytterligare en timme förflöt mellan soluppgången och när den upprättstående kastade en observerbar skugga på klockan. (Skuggan vid soluppgången skulle vara oändligt lång och därmed oanvändbar för att markera timmen). Två timmar passerade på samma sätt på kvällen. De markeringar på klockan som angav de fyra timmarna var mycket felaktiga, och var möjligen inte baserade på observation utan snarare på något fel i den himmelska geometrin.
Solur som liknar den typ som Vitruvius talar om användes i Egypten från åtminstone 1200 f.Kr. Dessa var vertikala hängande solur, halvcirkelformade i form med en horisontell gnomon i toppen och i mitten. ”Skuggan skulle svepa runt en sådan urtavla snabbare tidigt på morgonen och sent på eftermiddagen än vid middagstid, men egyptierna delade helt enkelt upp urtavlan i 12 15°-sektorer eller ’timmar’. Detta är kanske den grövsta ordningen för gnomonanvändning och ger inte mycket av vare sig teoretiskt eller empiriskt intresse för grekerna.” Ytterligare egyptisk utveckling inom tidtagning verkar ha avtagit fram till den assyriska invasionen på 700-talet f.Kr.
Ett nästan komplett solur hittades i Kantara i Egypten och daterades till cirka 320 f.Kr., långt över tusen år efter det att skuggklockorna var i drift :-

Gnomonet var ett vinkelrätt block som höjde sig vid foten av det sluttande ansiktet, och dess höjd och bredd var densamma som för det senare. På ena sidan fanns en anordning genom vilken ett lod kunde hängas upp så att det svängde fritt från basen. Instrumentet ställdes ner på en plan yta, och när det skulle användas vändes det så att det vände sig direkt mot solen. Gnomonens skugga föll då på ansiktet. De utrymmen som markerades av de parallella linjer som löpte från toppen till botten av ytan visade var skuggan skulle avläsas under årets olika månader, med början med sommarsolståndet i ena kanten och återvändande med vintersolståndet i den andra.

Längs ytan fanns en uppsättning snett dragna linjer som lutar från vintersolståndskanten till sommarsolståndskanten.

Vid sex på morgonen skulle skuggan träffa toppen av urtavlan; när solen steg högre upp skulle skuggan minska i längd tills den vid middagstid rörde den nedersta linjen; den nådde toppen av urtavlan igen vid sex på kvällen.

Detta solur och andra av liknande utformning som finns kvar idag är inte fruktansvärt exakta :-

Vissa modifieringar skulle ha varit nödvändiga för att de skulle kunna ange rätt tid. En del av denna inexakthet kan ha berott på att de var representationer av större eller mer exakta instrument, även om urtavlor av den här typen antingen måste ha varit tillräckligt små för att kunna hanteras eller så måste de ha haft någon form av arrangemang som gjorde att de lätt kunde vridas runt.

I den grekiska världen bestod de tidigaste soluretterna ”av en gnomon i form av en vertikal stolpe eller pinne som sattes in i en plan yta, på vilken gnomonens skugga tjänade till att ange tiden”. Detta i motsats till moderna konstruktioner som har sin gnomon snedställd parallellt med jordens axel. I detta moderna system utgår linjerna på urtavlan som anger timmarna från en central punkt och förblir raka. Det är skuggan av gnomonens kant som ligger på dessa linjer som anger tiden. Årstidsvariationer är praktiskt taget oväsentliga :-

I de gamla urtavlorna med vertikal gnomon varierade skuggans riktning vid varje given tidpunkt på dygnet med årstiderna. Det var alltså positionen för skuggans spets som var avgörande för bestämningen av timmen. Skuggans spets drog en kurva på urtavlans plan när solen rörde sig, en kurva som förändrades från sommar till vinter.

De kurvor som drogs ut på urtavlan på ett sådant solur kan ha lett till upptäckten av de koniska sektionerna, som tillskrivs Menaechmus på det fjärde århundradet f.Kr.

Solen drar en cirkelformad bana på himlen i sin dagliga rörelse. Gnomonets spets är toppen på en kon med solens strålar som element, och eftersom urtavlans plan skär konen är skuggbanan en konisk sektion. Om Menaechmus eller någon annan markerade denna bana med en serie punkter en viss dag skulle han ”upptäcka” en hyperbel.

Det bör noteras att solstitialkurvorna endast är hyperboler mellan de arktiska och antarktiska cirklarna. Ekvinoktialkurvan är en linje på alla latituder utom polerna. Solstitiallinjerna vid de arktiska och antarktiska cirklarna skulle vara paraboler och inom cirklarna skulle de vara ellipser. Ellipsen är lätt att se eftersom solen under den arktiska dagen gör sitt fulla kretslopp ovanför horisonten, och därför skulle en gnomons skugga kartlägga den slutna koniska sektionen.

Banorna för spetsen av gnomons skugga som ritades ut på dessa horisontella solur bildade ett mönster som liknade en yxa och som kallades pelekinon (härstammar från det grekiska ordet för yxa).

Mönstret bestod av en hyperbel som ritade skuggans väg vid vintersolståndet, en andra för sommarsolståndet och en rak öst-västlig linje däremellan som markerade ekvinoctialskuggorna. En linje som utgick från gnomonens bas i södra delen av urtavlan och löpte rakt norrut markerade middagstid. (Eftersom skuggan från gnomonens spets var tidsangivelsen kan gnomonerna ha varit lutande. Gnomonens vinkel är irrelevant. I en sådan urtavla skulle middagslinjen löpa från basen av en vinkelrät linje mellan gnomonens spets och urtavlans yta). Hyperbolerna var centrerade på denna middagslinje. Vinterhyperbeln öppnade norrut, sommarhyperbeln söderut (förutsatt att urtavlan befinner sig på norra halvklotet). Utöver den centrala middagslinjen lades ytterligare snedstreckade linjer till på vardera sidan för att ange dagsljusets timmar före och efter middagstid :-

Det är uppenbart från bevarade exempel på horisontella urtavlor att raka linjer som förbinder timpunkterna vid sommarsolståndet, dagjämningen och vintersolståndet tjänade till att närma sig dessa timlinjer i den grekisk-romerska antiken.

Fortfarande:-

… har kurvorna för solstitialdagen på nästan alla bevarade horisontella urtavlor tillnärmats med hjälp av brutna linjer som förbinder timpunkterna. Detta tycks tyda på att urtavleläggaren lokaliserade dessa timpunkter på urtavlan innan han graverade dagskurvorna.

Det är fortfarande omdiskuterat om vissa, om inte alla, solur av denna typ ritades genom observation eller beräkning. Det finns bevis som tyder på att projektionsmetoder användes för att bestämma timpunkterna :-

Både Vitruvius och Ptolemaios beskriver analemmor som för givna solpositioner tjänar till att bestämma längden och riktningen på den skugga som kastas av en gnomon på ytan av ett plant solur.

Specifikt ger Ptolemaios i sin bok ”On the Analemma” metoder för att härleda, både trigonometriskt och även grafiskt, tre par sfäriska koordinater för solen i förhållande till en given plats på jorden, given soldeklination, jordisk latitud och timme på dagen. Även om han inte säger det uttryckligen är varje par sfäriska koordinater unikt lämpade för att hitta längden och riktningen på en gnomonskugga för en typ av plant solur.

För att komplicera saken varierade de exakta specifikationerna för ett solurets nätverk av kurvor med solurets latitud. Om matematiska medel användes för att skapa mönstret på ett solur, borde man förvänta sig att man tog hänsyn till den avsedda latituden. Solur har dock hittats på latituder som varierar så mycket som 7 grader latitud (ett avstånd på över 700 kilometer). Det viktigaste exemplet på en sådan avvikelse var det solur som var Roms första officiella tidmätare. Romarna erövrade ett solur under ett krig på Sicilien år 264 f.Kr. Trots skillnaden på cirka 4 breddgrader tjänade soluret Rom i nästan hundra år innan en ny urtavla kalibrerad för staden sattes upp. Detta trots att tiden hade ett observerbart fel :-

Och även om skuggan av en pinne i marken tycks vara den enklaste formen av tidtagare är den horisontella urtavlan mer komplicerad att märka ut i timrummen för det tillfälliga timsystemet än urtavlorna med sfärisk eller konisk sektion … eftersom en grundläggande förståelse för ursprunget till de hyperboliska skuggornas banor på den plana ytan är nödvändig för att anpassa den geometriska figur som behövs för att göra den.

Den geometriska figuren är det analemma som Vitruvius talade om ovan. Analemmat är:-

… projektionen av himmelssfären till ett plan, varifrån i sin tur timmarnas positioner på urtavlans yta härleddes. Vitruvius beskriver den grundläggande figuren … även om hans text på denna punkt är något otydlig och han kan mycket väl inte ha förstått klart vad han beskrev i alla fall.

Efter att ha beskrivit hur ekvinoctiallinjen kan hittas, liksom punkten för middagstid på solstickorna, avslutar Vitruvius sina tankar om analemmat på följande sätt :-

När denna konstruktion har ritats och utförts på det sätt som anges, för vinterlinjerna och för sommaren, för ekvinoktiallinjerna och månadslinjerna, ska dessutom timsystemet skrivas in längs analemmaformen. Till detta kan läggas många olika sorters och typer av solur, och de markeras alla med dessa uppfinningsrika metoder. Resultatet av alla dessa figurer och deras avgränsning är dock identiskt: nämligen att dagen vid dagjämningen och vintersolståndet, och återigen vid sommarsolståndet, är lika uppdelad i tolv delar. Därför har jag inte valt att utelämna dessa frågor som om jag skulle avskräckas av lathet, utan för att inte orsaka irritation genom att skriva för mycket … . Därför ska jag helt enkelt berätta om de typer som har överlämnats till oss, och av vem de uppfanns.

Vitruvius’ avfärdande stödjer påståendet att han inte fullt ut förstod anpassningen av analemmat till soluret. Och även om han säger att vilket solur som helst kan konstrueras från analemma, är det bara senare författare som ger detaljerna för sådana konstruktioner.
Men även om den inledande konstruktionen krävde en större ansträngning, gjorde den lätthet med vilken dag- och timlinjerna kunde ritas att sfäriska solur i antiken var mer populära än deras platta motsvarigheter. Den grundläggande principen för det sfäriska soluret var att det speglade den himmelsfär i vilken solen färdas. Den grundläggande konstruktionen innebar att man urholkade en halvklot (eller en mindre kil av ett klot) med toppen parallell med horisonten. En gnomon sattes upp så att dess spets befann sig i mitten av halvklotet i jämnhöjd med horisontplanet. På en viss dag skulle skuggan som kastades av gnomonens spets teckna en cirkelbåge på urtavlans yta.

Sommarsolståndets båge låg längst ner på halvklotets botten. När årstiderna övergick till vinter var dessa bågar närmare och närmare den övre kanten av halvklotet. Dessa dagliga bågar var alla parallella, och dagjämningsbågen var hälften av en cirkel med samma centrum som halvklotet (en storcirkel). Timlinjerna var inte cirkulära kurvor, med undantag för dem vid horisonterna (som markerar soluppgång och solnedgång) och middagslinjen. Dessa var storcirklar som löpte vinkelrätt mot ekvinoktialcirkeln :-

Trots att de inte är cirkulära är säsongens timlinjer mellan meridianen och horisonten för latituder under 45° mycket nära tillnärmade av de storcirklar som passerar genom motsvarande säsongens timpunkter på solstitial- och ekvinoktialkurvorna. De graverade timlinjerna på bevarade sfäriska solur tycks vara sådana approximationer av storcirklar. Timlinjernas avvikelse från storcirklar kan inte ens upptäckas på de få urtavlor där mer än tre dygnskurvor har delats upp.

Därmed behövde markeringen av timlinjerna varken noggranna observationer eller komplicerad matematik. Allt som behövdes var att dela upp det område av halvklotet som mottog gnomonens skugga i tolv lika stora delar med hjälp av storcirklar, på ungefär samma sätt som ett modernt jordklot är indelat i longitudlinjer. För att förenkla den sfäriska urtavlan ytterligare behövde dagskurvorna inte motsvara dagjämningarna eller solstickorna om urtavlans enda syfte var att fungera som en klocka. Två eller tre parallella cirkelbågar var allt som behövdes för att underlätta avläsningen (motsvarande breddgraderna). Flera exempel på sådana urtavlor har hittats på platser som Pompeji, Herculaneum, Ostia och Rom. Det var först när urtavlan skulle fungera som kalender som dessa linjer behövde motsvara ekvinoxerna och solstickorna.

.