(Det finns en annan ”Eulers formel” om geometri,
denna sida handlar om den som används för komplexa tal)
För det första har du kanske sett den berömda ”Eulers identitet”:
eiπ + 1 = 0
Det verkar helt magiskt att en så snygg ekvation kombineras:
- e (Eulers tal)
- i (enhetens imaginära tal)
- π (det berömda talet pi som dyker upp på många intressanta områden)
- 1 (det första räkne talet)
- 0 (noll)
Och har dessutom de grundläggande operationerna addera, multiplicera och en exponent också!
Men om du vill göra en intressant resa genom matematiken kommer du att upptäcka hur det går till.
Intresserad? Läs vidare!
Upptäckt
Det var runt 1740, och matematiker var intresserade av imaginära tal.
Ett imaginärt tal ger vid kvadrering ett negativt resultat
Detta är normalt sett omöjligt (prova att kvadrera några tal, kom ihåg att multiplicering av negativa tal ger ett positivt, och se om du kan få ett negativt resultat), men föreställ dig bara att du kan göra det!
Och vi kan få detta speciella tal (som kallas i för imaginärt):
i2 = -1
Leonhard Euler roade sig en dag och lekte med imaginära tal (eller så föreställer jag mig det!), och han tog denna välkända Taylorserie (läs om dem, de är fascinerande):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
Och han satte in i i den:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
Och eftersom i2 = -1 förenklas det till:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Gruppera nu alla i-termer i slutet:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Och här kommer miraklet … de två grupperna är faktiskt Taylor-serierna för cos och sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
Och så förenklas det till:
eix = cos x + i sin x
Han måste ha blivit så glad när han upptäckte detta!
Och det kallas nu Eulers formel.
Vi ska prova den:
Exempel: när x = 1,1
Observera att vi använder radianer, inte grader.
Svaret är en kombination av ett reellt och ett imaginärt tal, som tillsammans kallas för ett komplext tal.
Vi kan plotta ett sådant tal på det komplexa planet (de reella talen går vänster-högre, och de imaginära talen går upp-ned):
Här visar vi talet 0,45 + 0,89 i
Vad som är detsamma som e1,1i
Vi plottar lite mer!
En cirkel!
Ja, genom att sätta Eulers formel på grafen får vi fram en cirkel:
eix ger en cirkel med radie 1
Och när vi inkluderar en radie på r kan vi förvandla vilken punkt som helst (t.ex. 3 + 4i) till reix-form genom att hitta rätt värde på x och r:
Exempel: talet 3 + 4i
För att omvandla 3 + 4i till reixform gör vi en kartesisk till polär omvandling:
- r = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (till 3 decimaler)
Så 3 + 4i kan också vara 5e0,927 i
Det är en annan form
Det är i princip ett annat sätt att ha ett komplext tal.
Detta visar sig vara mycket användbart, eftersom det finns många fall (till exempel multiplikation) där det är lättare att använda reixformen än a+bi-formen.
Plottning av eiπ
Sist, när vi beräknar Eulers formel för x = π får vi:
Och här är punkten som skapas av eiπ (där vår diskussion började):
Och eiπ = -1 kan omformas till:
eiπ + 1 = 0
Den berömda Eulerska identiteten.