(Der findes en anden “Eulers formel” om geometri,
denne side handler om den, der bruges i komplekse tal)
Først har du måske set den berømte “Eulerske identitet”:
eiπ + 1 = 0
Det virker helt magisk, at en så pæn ligning kan kombineres:
- e (Eulers tal)
- i (det imaginære enhedstal)
- π (det berømte tal pi, der dukker op på mange interessante områder)
- 1 (det første tællende tal)
- 0 (nul)
Og har også de grundlæggende operationer addere, multiplicere og en eksponent med!
Men hvis du vil tage på en interessant rejse gennem matematikken, vil du opdage, hvordan det kommer til at foregå.
Interesseret? Læs videre!
Offentliggørelse
Det var omkring 1740, og matematikere var interesserede i imaginære tal.
Et imaginært tal giver, når det kvadreres, et negativt resultat
Det er normalt umuligt (prøv at kvadrere nogle tal og husk, at multiplikation af negative tal giver et positivt tal, og se, om du kan få et negativt resultat), men forestil dig, at du kan gøre det!
Og vi kan få dette specielle tal (kaldet i for imaginært):
i2 = -1
Leonhard Euler morede sig en dag med at lege med imaginære tal (det forestiller jeg mig i hvert fald!), og han tog denne velkendte Taylor-serie (læs om dem, de er fascinerende):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
Og han satte i ind i den:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
Og fordi i2 = -1, forenkles det til:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Grupper nu alle i-termerne til sidst:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Og her er miraklet … de to grupper er faktisk Taylorrækkerne for cos og sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
Og så forenkles det til:
eix = cos x + i sin x
Han må have været så glad, da han opdagede dette!
Og det hedder nu Eulers formel.
Lad os prøve den:
Eksempel: når x = 1,1
Bemærk: Vi bruger radianer, ikke grader.
Svaret er en kombination af et reelt og et imaginært tal, som tilsammen kaldes et komplekst tal.
Vi kan plotte et sådant tal på det komplekse plan (de reelle tal går venstre-højre, og de imaginære tal går op-ned):
Her viser vi tallet 0,45 + 0,89 i
Hvilket er det samme som e1,1i
Lad os plotte noget mere!
En cirkel!
Ja, hvis vi lægger Eulers formel på denne graf, får vi en cirkel:
eix giver en cirkel med radius 1
Og når vi inddrager en radius på r, kan vi omdanne et hvilket som helst punkt (f.eks. 3 + 4i) til reix-form ved at finde den korrekte værdi af x og r:
Eksempel: tallet 3 + 4i
For at omdanne 3 + 4i til reix-form foretager vi en omregning fra kartesisk til polær form:
- r = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (til 3 decimaler)
Så 3 + 4i kan også være 5e0,927 i
Det er en anden form
Det er i princippet en anden måde at have et komplekst tal på.
Dette viser sig at være meget nyttigt, da der er mange tilfælde (f.eks. multiplikation), hvor det er lettere at bruge reix-formen frem for a+bi-formen.
Plotting eiπ
Sidst, når vi beregner Eulers formel for x = π får vi:
Og her er punktet skabt af eiπ (hvor vores diskussion begyndte):
Og eiπ = -1 kan omarrangeres til:
eiπ + 1 = 0
Den berømte Eulerske Identitet.