(Van egy másik “Euler-képlet” is a geometriáról,
ez az oldal a komplex számokra használtról szól)
Először is, talán láttad már a híres “Euler-azonosságot”:
eiπ + 1 = 0
Ez teljesen varázslatosnak tűnik, hogy egy ilyen takaros egyenlet összeáll:
- e (Euler száma)
- i (az egységnyi képzeletbeli szám)
- π (a híres pi szám, amely sok érdekes területen felbukkan)
- 1 (az első számjegy)
- 0 (nulla)
És emellett rendelkezik az összeadás, szorzás és az exponens alapműveleteivel is!
De ha szeretnél egy érdekes utazást tenni a matematikában, akkor megtudhatod, hogyan jön létre.
Érdekel? Olvass tovább!
Felfedezés
1740 körül volt, és a matematikusokat a képzeletbeli számok érdekelték.
Egy képzeletbeli szám négyzetre szorozva negatív eredményt ad
Ez általában lehetetlen (próbálj meg négyzetre szorozni néhány számot, emlékezve arra, hogy a negatívok szorzása pozitív eredményt ad, és nézd meg, hogy negatív eredményt kapsz-e), de képzeld el, hogy meg tudod csinálni!
És lehet ez a különleges számunk (amit i-nek hívnak a képzeletbeli számok miatt):
i2 = -1
Leonhard Euler egy nap jól érezte magát, és képzeletbeli számokkal játszott (legalábbis én így képzelem!), és vette ezt a jól ismert Taylor-sorozatot (olvass utána, lenyűgözőek):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
És beletette az i-t:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
És mivel i2 = -1, ez egyszerűsödik:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Most az összes i tagot a végére csoportosítjuk:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
És itt jön a csoda … a két csoport valójában a cos és sin Taylor-sorozat:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
És így egyszerűsödik:
eix = cos x + i sin x
Nagyon boldog lehetett, amikor ezt felfedezte!
És ezt most Euler képletének nevezik.
Próbáljuk ki:
Példa: ha x = 1,1
Megjegyezzük: sugárral használjuk, nem fokokkal.
A válasz egy valós és egy képzetes szám kombinációja, amelyeket együtt komplex számnak nevezünk.
Egy ilyen számot ábrázolhatunk a komplex síkon (a valós számok balra-jobbra, a képzeletbeli számok pedig fel-le):
Itt a 0,45 + 0,89 i
számot mutatjuk, ami megegyezik az e1,1i számmal
rajzoljunk még valamit!
Egy kört!
Igen, ha az Euler-formulát rátesszük erre a grafikonra, akkor egy kört kapunk:
eix egy 1 sugarú kört ad
És ha r sugarat is felveszünk, akkor bármelyik pontot (például 3 + 4i) reix formára alakíthatjuk, ha megtaláljuk x és r helyes értékét:
Példa: a 3 + 4i szám
Hogy a 3 + 4i-t reix formába alakítsuk, elvégezzük a karteziánusból polárisba való átváltást:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (3 tizedesjegyig)
Így 3 + 4i is lehet 5e0,927 i
Ez egy másik forma
Ez lényegében egy komplex szám egy másik formája.
Ez nagyon hasznosnak bizonyul, hiszen sok olyan eset van (például szorzás), amikor egyszerűbb a reix formát használni, mint az a+bi formát.
Az eiπ ábrázolása
Végül, ha kiszámítjuk az Euler-formulát x = π-re, akkor azt kapjuk:
És itt van az eiπ által létrehozott pont (ahol a tárgyalásunk kezdődött):
És eiπ = -1 átrendezhető:
eiπ + 1 = 0
A híres Euler-identitás.