(Há outra “Euler’s Formula” sobre Geometria,
esta página é sobre a usada em Números Complexos)
Primeiro, você deve ter visto a famosa “Euler’s Identity”:
eiπ + 1 = 0
Parece absolutamente mágico que uma equação tão pura combine:
- e (o número de Euler)
- i (o número imaginário da unidade)
- π (o famoso número pi que aparece em muitas áreas interessantes)
- 1 (o primeiro número de contagem)
- 0 (zero)
E também tem as operações básicas de adicionar, multiplicar, e um expoente também!
Mas se você quiser fazer uma viagem interessante através da matemática, você vai descobrir como isso acontece.
Interessado? Continue lendo!
Descoberta
Foi por volta de 1740, e os matemáticos estavam interessados em números imaginários.
Um número imaginário, quando ao quadrado dá um resultado negativo
>
É normalmente impossível (tente ao quadrado alguns números, lembrando-se que multiplicar negativos dá um resultado positivo, e veja se consegue obter um resultado negativo), mas imagine que consegue!
E podemos ter este número especial (chamado i para imaginário):
i2 = -1
Leonhard Euler estava se divertindo um dia, brincando com números imaginários (ou assim eu imagino!), e ele pegou esta bem conhecida Série Taylor (leia sobre esses, eles são fascinantes):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
E ele colocou i:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
E porque i2 = -1, simplifica para:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Grupo agora todos os termos i no final:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
>E aqui está o milagre … os dois grupos são na verdade a Série Taylor para cos e pecado:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
>
pecado x = x – x33! + x55! – …
E assim simplifica para:
eix = cos x + i pecado x
Ele deve ter ficado tão feliz quando descobriu isto!
E agora chama-se Fórmula de Euler.
Vamos tentar:
Exemplo: quando x = 1,1
Nota: estamos usando radiantes, não graus.
A resposta é uma combinação de um Número Real e um Número Imaginário, que juntos é chamado de Número Complexo.
Podemos plotar tal número no plano complexo (os números reais vão para a esquerda-direita, e os números imaginários vão para baixo):
Aqui mostramos o número 0.45 + 0.89 i
Que é o mesmo que e1.1i
Vamos plotar um pouco mais!
Um Círculo!
Sim, colocando a Fórmula de Euler nesse gráfico produz um círculo:
eix produz um círculo de raio 1
E quando incluímos um raio de r podemos transformar qualquer ponto (como 3 + 4i) em forma de reixo, encontrando o valor correcto de x e r:
Exemplo: o número 3 + 4i
Para transformar 3 + 4i em forma de reixo, fazemos uma conversão cartesiana para polar:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (a 3 decimais)
Então 3 + 4i também pode ser 5e0.927 i
É Outra Forma
É basicamente outra forma de ter um número complexo.
Isto revela-se muito útil, pois há muitos casos (como a multiplicação) em que é mais fácil usar o formulário reixar do que o formulário a+bi.
Plotting eiπ
Por último, quando calculamos a Fórmula de Euler para x = π obtemos:
E aqui está o ponto criado por eiπ (onde nossa discussão começou):
>E eiπ = -1 pode ser rearranjado em:
eiπ + 1 = 0
A famosa Identidade de Euler.