(C’è un’altra “Formula di Eulero” sulla Geometria,
questa pagina è su quella usata nei numeri complessi)
Prima di tutto, potresti aver visto la famosa “Identità di Eulero”:
eiπ + 1 = 0
Sembra assolutamente magico che una tale equazione pulita combini:
- e (il numero di Eulero)
- i (il numero immaginario unitario)
- π (il famoso numero pi greco che compare in molti ambiti interessanti)
- 1 (il primo numero di conteggio)
- 0 (zero)
E ha anche le operazioni fondamentali di addizione, moltiplicazione e un esponente!
Ma se vuoi fare un viaggio interessante attraverso la matematica, scoprirai come nasce.
Interessato? Continua a leggere!
Scoperta
Era circa il 1740, e i matematici erano interessati ai numeri immaginari.
Un numero immaginario, quando viene elevato al quadrato dà un risultato negativo
Questo è normalmente impossibile (prova a squadrare alcuni numeri, ricordando che moltiplicando i negativi si ottiene un positivo, e vedi se puoi ottenere un risultato negativo), ma immagina di poterlo fare!
E possiamo avere questo numero speciale (chiamato i per immaginario):
i2 = -1
Leonhard Euler si stava divertendo un giorno a giocare con i numeri immaginari (o così immagino!), e ha preso questa ben nota serie di Taylor (leggete quelle, sono affascinanti):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
E ci mise i:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
E poiché i2 = -1, si semplifica in:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Ora raggruppa tutti i termini i alla fine:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
E qui è il miracolo … i due gruppi sono effettivamente le serie di Taylor per cos e sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
E così si semplifica a:
eix = cos x + i sin x
Deve essere stato così felice quando ha scoperto questo!
E ora si chiama Formula di Eulero.
Proviamola:
Esempio: quando x = 1,1
Nota: stiamo usando radianti, non gradi.
La risposta è una combinazione di un numero reale e uno immaginario, che insieme si chiamano numeri complessi.
Possiamo tracciare un tale numero sul piano complesso (i numeri reali vanno da sinistra a destra, e i numeri immaginari vanno su per giù):
Qui mostriamo il numero 0.45 + 0.89 i
Che è uguale a e1.1i
Tracciamo ancora un po’!
Un cerchio!
Sì, mettendo la formula di Eulero su quel grafico produce un cerchio:
eix produce un cerchio di raggio 1
E quando includiamo un raggio di r possiamo trasformare qualsiasi punto (come 3 + 4i) nella forma reix trovando il valore corretto di x e r:
Esempio: il numero 3 + 4i
Per trasformare 3 + 4i in forma reix facciamo una conversione cartesiana in polare:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (a 3 decimali)
Quindi 3 + 4i può anche essere 5e0.927 i
E’ un’altra forma
E’ sostanzialmente un altro modo di avere un numero complesso.
Questo si rivela molto utile, poiché ci sono molti casi (come la moltiplicazione) in cui è più facile usare la forma reix piuttosto che la forma a+bi.
Plottando eiπ
Infine, quando calcoliamo la formula di Eulero per x = π otteniamo:
Ecco il punto creato da eiπ (dove è iniziata la nostra discussione):
E eiπ = -1 può essere riorganizzato in:
eiπ + 1 = 0
La famosa identità di Eulero.