(Geometriasta on toinenkin ”Eulerin kaava”,
tämä sivu käsittelee kompleksiluvuissa käytettävää kaavaa)
Esimerkiksi olet ehkä nähnyt kuuluisan ”Eulerin identiteetin”:
eiπ + 1 = 0
Tuntuu aivan maagiselta, että tällainen siisti yhtälö yhdistyy:
- e (Eulerin luku)
- i (yksikön imaginääriluku)
- π (kuuluisa luku pi, joka esiintyy monissa mielenkiintoisissa asioissa)
- 1 (ensimmäinen laskennallinen luku)
- 0 (nolla)
Ja lisäksi siinä on vielä yhteenlaskun, kertolaskun ja eksponenttikertoimen peruskäytännötkin!
Mutta jos haluat tehdä mielenkiintoisen matkan matematiikan läpi, saat tietää miten se syntyy.
Kiinnostuitko? Lue eteenpäin!
Löytö
Oli noin vuosi 1740, ja matemaatikot olivat kiinnostuneita mielikuvitusluvuista.
Kuvitteellinen luku, kun se neliöityy, antaa negatiivisen tuloksen
Tämä on normaalisti mahdotonta (kokeile neliöimällä joitakin lukuja, muistaen, että kertomalla negatiiviset luvut saat positiivisen tuloksen, ja katso, saatko negatiivisen tuloksen), mutta kuvittele, että pystyt siihen!
Ja voimme saada tämän erikoisluvun (jota kutsutaan i:ksi mielikuvitusluvuksi):
i2 = -1
Leonhard Euler viihtyi eräänä päivänä leikkimässä mielikuvitusluvuilla (tai ainakin kuvittelen niin!), ja hän otti tämän tunnetun Taylorin sarjan (lukekaa noista, ne ovat kiehtovia):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
Ja hän laittoi siihen i:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
Ja koska i2 = -1, se yksinkertaistuu:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Ja nyt ryhmitellään kaikki i-termit loppuun:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Ja tässä on se ihme … nämä kaksi ryhmää ovat itse asiassa Taylorin sarjat cosille ja sinille:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
Ja näin se yksinkertaistuu muotoon:
eix = cos x + i sin x
Hän oli varmaan niin onnellinen, kun hän löysi tämän!
Ja sitä kutsutaan nyt Eulerin kaavaksi.
Kokeillaanpa sitä:
Esimerkki: kun x = 1.1
Huomaa: käytämme radiaaneja, emme asteita.
Vastaus on reaaliluvun ja imaginääriluvun yhdistelmä, joita yhdessä kutsutaan kompleksiluvuksi.
Voidaan piirtää tällainen luku kompleksitasolle (reaaliluvut menevät vasemmalta oikealle ja imaginääriluvut ylhäältä alas):
Tässä näemme luvun 0.45 + 0.89 i
Joka on sama kuin e1.1i
Piirretään vielä lisää!
Ympyrä!
Kyllä, laittamalla Eulerin kaava tuohon kuvaajaan saadaan ympyrä:
eix tuottaa ympyrän, jonka säde on 1
Ja kun otamme mukaan säteen r, voimme muuttaa minkä tahansa pisteen (kuten 3 + 4i) reix-muotoon etsimällä x:n ja r:n oikean arvon:
Esimerkki: luku 3 + 4i
Kääntääksemme 3 + 4i reix-muotoon teemme karteesisen muunnoksen polaariseksi:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (kolmen desimaalin tarkkuudella)
Siten 3 + 4i voi olla myös 5e0.927 i
Se on toinen muoto
Se on periaatteessa toinen tapa saada kompleksiluku.
Tämä osoittautuu erittäin hyödylliseksi, sillä on monia tapauksia (kuten kertolasku), joissa on helpompi käyttää reix-muotoa kuin a+bi-muotoa.
Eiπ:n piirtäminen
Viimeiseksi, kun laskemme Eulerin kaavan x = π:lle, saamme:
Tässä on eiπ:n luoma piste (josta keskustelumme alkoi):
Ja eiπ = -1 voidaan järjestää uudelleen muotoon:
eiπ + 1 = 0
Kuuluisa Eulerin identiteetti.