(Jest jeszcze jeden „Wzór Eulera” o Geometrii,
ta strona jest o tym używanym w Liczbach Złożonych)
Po pierwsze, być może widziałeś słynną „Tożsamość Eulera”:
eiπ + 1 = 0
To wydaje się absolutnie magiczne, że takie zgrabne równanie łączy:
- e (liczba Eulera)
- i (jednostkowa liczba urojona)
- π (słynna liczba pi, która pojawia się w wielu ciekawych dziedzinach)
- 1 (liczba pierwsza liczona)
- 0 (zero)
I ma też podstawowe operacje dodawania, mnożenia i wykładnik też!
Ale jeśli chcesz odbyć ciekawą podróż po matematyce, odkryjesz, jak do tego dochodzi.
Zainteresowany? Czytaj dalej!
Odkrycie
Było to około 1740 roku, a matematycy interesowali się liczbami urojonymi.
Liczba urojona, po podniesieniu do kwadratu daje wynik ujemny
Zazwyczaj jest to niemożliwe (spróbuj podnieść do kwadratu kilka liczb, pamiętając, że mnożenie ujemnych daje wynik dodatni, i zobacz, czy możesz uzyskać wynik ujemny), ale wyobraź sobie, że możesz to zrobić!
I możemy mieć tę specjalną liczbę (zwaną i dla urojenia):
i2 = -1
Leonhard Euler bawił się pewnego dnia, grając z liczbami urojonymi (lub tak sobie wyobrażam!), i wziął tę dobrze znaną serię Taylora (poczytaj o nich, są fascynujące):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
And he put i into it:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
A ponieważ i2 = -1, to upraszcza się do:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Teraz zgrupuj wszystkie i na końcu:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
I tu jest cud … te dwie grupy to tak naprawdę szereg Taylora dla cos i sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
I tak to się upraszcza do:
eix = cos x + i sin x
Musiał być bardzo szczęśliwy, gdy to odkrył!
I teraz nazywa się to wzorem Eulera.
Spróbujmy:
Przykład: gdy x = 1.1
Uwaga: używamy radianów, nie stopni.
Odpowiedź jest kombinacją liczby rzeczywistej i urojonej, które razem są nazywane liczbą złożoną.
Możemy wykreślić taką liczbę na płaszczyźnie zespolonej (liczby rzeczywiste idą w lewo-prawo, a liczby urojone w górę-dół):
Tutaj pokazujemy liczbę 0,45 + 0,89 i
Która jest taka sama jak e1,1i
Wykreślmy jeszcze kilka!
Okrąg!
Tak, zastosowanie wzoru Eulera na wykresie daje okrąg:
eix daje okrąg o promieniu 1
A gdy uwzględnimy promień r, możemy przekształcić dowolny punkt (taki jak 3 + 4i) w postać reix, znajdując odpowiednią wartość x i r:
Przykład: liczba 3 + 4i
Aby przekształcić 3 + 4i w postać reix wykonujemy konwersję kartezjańską na biegunową:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (do 3 miejsc po przecinku)
Więc 3 + 4i może być również 5e0,927 i
Jest to Inna Forma
Jest to w zasadzie inny sposób posiadania liczby złożonej.
Okazuje się to bardzo przydatne, ponieważ istnieje wiele przypadków (takich jak mnożenie), w których łatwiej jest użyć formy reix niż formy a+bi.
Określanie eiπ
Na koniec, gdy obliczymy Wzór Eulera dla x = π otrzymamy:
A oto punkt utworzony przez eiπ (od którego zaczęła się nasza dyskusja):
A eiπ = -1 można przearanżować na:
eiπ + 1 = 0
Słynna tożsamość Eulera.