MacTutor

In de tijd van de oude Grieken en Romeinen werd de aarde beschouwd als het middelpunt van het heelal, dat zelf een bol was met daarin alle sterren. Deze hemelbol draaide van oost naar west en droeg niet alleen de sterren, maar ook de zon en de planeten. Daarom draaide de zon om de aarde. Dit veroorzaakte dag en nacht. De aarde roteerde niet. Om zonnewijzers te begrijpen is het volkomen aanvaardbaar en gemakkelijk om deze geocentrische zienswijze over te nemen. De zon draaide niet rond de aarde in een cirkel die loodrecht stond op de aardas (die ook de as van de hemelbol was) zoals de sterren deden. De zon volgde een cirkel langs de hemelbol, met de aarde als middelpunt, de zogenaamde ecliptica.

Het eclipticavlak snijdt het equatoriale vlak bij ongeveer 23,5°. Dit staat bekend als de obliquiteit van de ecliptica. De cirkel van de ecliptica snijdt min of meer de twaalf sterrenbeelden van de dierenriem, en de tijd van het jaar (die overeenkomt met de moderne maanden) werd berekend aan de hand van het teken van de dierenriem dat de zon doorkruiste. (Ongeacht de precieze plaats van de sterrenbeelden van de dierenriem was de ecliptica verdeeld in 12 gelijke bogen van elk 30°, waardoor de meeste sterrenbeelden niet in het midden stonden en vaak niet volledig in het gebied van 30° lagen). De beweging van de zon langs de eclipticacirkel duurt een (zonne)jaar. De dubbele beweging van de zon (op de hemelbol en langs de ecliptica) betekent dat de zon elke dag een ander pad aan de hemel volgt. Vanuit het perspectief van het noordelijk halfrond staat de zon in de zomer hoger aan de hemel en blijft ze langer zichtbaar. Aangezien de ouden het daglicht altijd in twaalf gelijke uren verdeelden, waren deze uren in de zomer langer. In de wintermaanden staat de zon lager aan de hemel en is ze korter zichtbaar. Bijgevolg waren de winteruren ook korter.
De tijd in de antieke wereld werd eerst gemeten aan de hand van natuurlijk voorkomende gebeurtenissen, zoals zonsopgang, zonsondergang en etenstijden :-

In de vroege eeuwen van Rome en zelfs tot het midden van de vijfde eeuw na de stichting van de stad kende men geen andere dagindelingen dan zonsopgang, zonsondergang en het middaguur, die werden gemarkeerd door de aankomst van de zon tussen de Rostra en een plaats die Graecostasis werd genoemd.

De grootste literaire bron die er is voor de zonnewijzers van Griekenland en Rome is Vitruvius’ Tien boeken over architectuur, geschreven rond 25 v. Chr. In Boek 9 geeft Vitruvius een lijst van een verscheidenheid aan zonnewijzers en hun uitvinders:-

Berosus de Chaldaeër zou de halfronde zonnewijzer hebben uitgevonden, gesneden uit een vierkant blok en ondersneden om de helling van de aarde te volgen. De halve bol, of scaphê, wordt toegeschreven aan Aristarchus van Samos, en hij vond ook de schijf op een vlak uit. De spin werd uitgevonden door Eudoxus de astronoom; sommigen zeggen door Apollonius. De sokkel of kist, waarvan een voorbeeld te zien is in het Circus van Flaminius, werd uitgevonden door Scopinas van Syracuse; Parmenion vond de “zonnewijzer voor onderzoek” uit; Theodosius en Andrias de zonnewijzer “voor elk klimaat”, Patrocles de bijl, Dionysodorus de kegel, Apollonius de pijlkoker. De hier genoemde mannen hebben andere soorten uitgevonden, en vele anderen hebben ons nog andere soorten nagelaten, zoals de Spinnenkegel, de Holle Sokkel en de Antiboreus (“Tegenover het Noorden”). Velen hebben bovendien schriftelijke aanwijzingen achtergelaten voor het maken van draagbare en hangende versies van deze soorten. Wie wil kan in hun boeken aanvullende informatie vinden, als hij maar weet hoe een analemma moet worden opgesteld.

Vitruvius’ analemma is het systeem van lijnen en curven die de wisselende uren en maanden op het vlak van een zonnewijzer aangeven. Zijn vorige hoofdstuk is gewijd aan de bepaling van het analemma op basis van de waarneming van de schaduw van een gnomon op het middaguur op de equinox. (De gnomon was de rechtopstaande stok die zijn schaduw op het zonnewijzervlak wierp. Afhankelijk van het ontwerp van de zonnewijzer werd de tijd bepaald aan de hand van de lengte van de schaduw of aan de hand van de positie van de punt van de schaduw). Helaas eindigt Vitruvius zijn bespreking van zonnewijzers met de bovenstaande lijst en schrijft hij de rest van Boek 9 over waterklokken.
Voordat de Grieken de zonnewijzer ontwikkelden in de vormen die Vitruvius opsomt, hadden de meer oude beschavingen van Egypte en Mesopotamië al vanaf 1500 v. Chr. apparaten om de schaduw te meten.Hoewel dit de datum is van de vroegste overgebleven zonnewijzers :-

… is het mogelijk dat zonnewijzers al in het derde millennium werden uitgevonden toen Egyptische priesters de nacht en de dag in twaalf gelijke delen begonnen te verdelen.

Een funeraire tekst uit 1290 v. Chr, waarin wordt verwezen naar astronomische gebeurtenissen in de 19e eeuw v. Chr., geeft instructies voor de constructie van een “schaduwstok”.

Deze schaduwklok bestond uit een basis met aan één uiteinde een rechtopstaande stok. Vanwege de hoekverdraaiing van de schaduw in de loop van de dag, is gespeculeerd dat aan de rechtopstaande stok een dwarsbalk was toegevoegd om de schaduw te verbreden zodat deze altijd op de klok zou vallen. Noch in de funeraire tekst, noch in de overgeleverde exemplaren is de dwarsbalk te zien, hoewel een exemplaar aan weerszijden van de staander gaten heeft die op een dergelijke toevoeging kunnen wijzen.

In de praktijk moest de schaduwklok eenmaal per dag op het middaguur worden gedraaid om zowel ’s morgens als ’s middags de tijd te kunnen aangeven :-

Met de kop naar het oosten worden 4 uren aangegeven door afnemende schaduwlengtes waarna het instrument wordt omgekeerd met de kop naar het westen om 4 middaguren aan te geven.

Twee uren zouden zijn verstreken voordat de zon ’s morgens de klok sloeg, en nog eens twee uren zouden zijn verstreken nadat de zon de klok had verlaten maar voordat de nacht begon. De veronderstelling is dat de ochtendschemering vóór zonsopgang als één uur werd geteld, en dat nog een uur verstreek tussen zonsopgang en het moment waarop de opgaande zon een waarneembare schaduw op de klok wierp. (De schaduw bij zonsopgang zou oneindig lang zijn, en dus onbruikbaar om het uur aan te geven). Ook ’s avonds verstreken twee uren. De markeringen op de klok die de vier uren aangaven waren zeer onnauwkeurig en berustten mogelijk niet op waarneming maar op een misvatting van de hemelmeetkunde.
Zonnewijzers die leken op het soort waarover Vitruvius spreekt waren in Egypte in gebruik vanaf tenminste 1200 v. Chr. Het waren verticale hangende zonnewijzers, halfrond van vorm met een horizontale gnomon bovenaan en in het midden. “De schaduw zou in de vroege ochtend en de late namiddag sneller rond zo’n zonnewijzer gaan dan rond het middaguur, maar de Egyptenaren verdeelden de zonnewijzer eenvoudigweg in 12 sectoren of ‘uren’ van 15°. Dit is misschien de grofste volgorde van gnomongebruik en levert weinig op van theoretisch of empirisch belang voor de Grieken.” De verdere ontwikkeling van de Egyptische tijdmeting lijkt te zijn afgenomen tot de Assyrische invasie in de 7e eeuw v. Chr.
Er is een bijna complete zonnewijzer gevonden in Kantara, Egypte die dateert van ongeveer 320 v. Chr., ruim duizend jaar nadat de schaduwklokken in gebruik waren genomen :-

De gnomon was een loodrecht opstaand blok aan de voet van het schuine vlak, waarvan de hoogte en breedte gelijk waren aan die van het schuine vlak. Aan één kant bevond zich een voorziening waarmee een loodlijn kon worden opgehangen zodat deze vrij van de basis kon zwaaien. Het instrument werd op een vlakke ondergrond gelegd en wanneer het gebruikt moest worden, werd het zo gedraaid dat het recht naar de zon gericht was. De schaduw van de gnomon viel dan op het vlak. De parallelle lijnen op de voorkant gaven aan waar de schaduw gedurende de verschillende maanden van het jaar moest worden afgelezen, beginnend met de zomerzonnewende aan de ene kant en weer terugkerend naar de winterzonnewende aan de andere kant.

Over de voorkant liep een reeks schuin aflopende lijnen van de rand van de winterzonnewende naar de rand van de zomerzonnewende.

Om zes uur ’s morgens viel de schaduw op de bovenkant van de zonnewijzer; naarmate de zon hoger kwam, nam de schaduw in lengte af tot hij ’s middags de onderste lijn raakte; om zes uur ’s avonds bereikte hij weer de bovenkant van de zonnewijzer.

Deze zonnewijzer en andere zonnewijzers van een soortgelijk ontwerp die vandaag de dag nog bestaan, zijn niet erg nauwkeurig:

Er waren bepaalde aanpassingen nodig om de juiste tijd aan te geven. Een deel van deze onnauwkeurigheid kan te wijten zijn geweest aan het feit dat ze afbeeldingen waren van grotere of nauwkeurigere instrumenten, hoewel zonnewijzers van dit type ofwel klein genoeg moeten zijn geweest om te hanteren of anders een of andere opstelling moeten hebben gehad waardoor ze gemakkelijk konden worden gedraaid.

In de Griekse wereld bestonden de vroegste zonnewijzers “uit een gnomon in de vorm van een verticale paal of pin in een plat vlak, waarop de schaduw van de gnomon diende om de tijd aan te geven”. Dit in tegenstelling tot moderne ontwerpen waarbij de gnomon schuin evenwijdig aan de aardas staat. In dit moderne systeem komen de lijnen op de wijzerplaat die de uren aanduiden uit een centraal punt en blijven recht. Het is de schaduw van de rand van de gnomon die op deze lijnen ligt die de tijd aangeeft. Seizoensvariaties zijn praktisch onbelangrijk :-

In de oude wijzerplaten met verticale gnomon varieerde de richting van de schaduw op een gegeven moment van de dag met de seizoenen. Het was dus de positie van de punt van de schaduw die essentieel was voor de bepaling van het uur. Het puntje van de schaduw trok een kromme op het vlak van de zonnewijzer als de zon bewoog, een kromme die van zomer tot winter veranderde.

De krommen die op de zonnewijzer van zo’n zonnewijzer werden afgetekend hebben wellicht geleid tot de ontdekking van de kegelsneden, zoals toegeschreven aan Menaechmus in de vierde eeuw v. Chr.

De zon volgt in haar dagelijkse beweging een cirkelvormige baan aan de hemel. De punt van de gnomon is het hoekpunt van een kegel met de zonnestralen als elementen, en aangezien het zonnewijzervlak de kegel snijdt, is het schaduwpad een kegelsnede. Als Menaechmus of iemand anders dit pad op een bepaalde dag met een reeks stippen zou markeren, zou hij een hyperbool “ontdekken”.

Opgemerkt moet worden dat de zonnewendekrommen alleen hyperbolen zijn tussen de noordpoolcirkel en de zuidpoolcirkel. De equinoctiale kromme is een lijn op elke breedtegraad behalve de polen. De zonnewendekrommen op de noordpoolcirkel en de zuidpoolcirkel zouden parabolen zijn en binnen de cirkels ellipsen. De ellips is gemakkelijk te zien omdat tijdens de pooldag de zon haar volledige omloop boven de horizon maakt en de schaduw van een gnomon dus de gesloten kegelsnede in kaart zou brengen.

De paden van de punt van de schaduw van de gnomon zoals die op deze horizontale zonnewijzers werden afgetekend vormden een patroon dat op een bijl leek, een pelekinon genoemd (afgeleid van het Griekse woord voor bijl).

Het patroon bestond uit een hyperbool die het pad van de schaduw op de winterzonnewende volgde, een tweede voor de zomerzonnewende, en een rechte oost-westlijn daartussen die de equinoctiale schaduwen aangaf. Een lijn vanaf de basis van de gnomon in het zuiden van de zonnewijzer die recht naar het noorden liep, gaf de middag aan. (Aangezien de schaduw van de punt van de gnomon de tijdsaanduider was, kan de gnomon schuin hebben gestaan. De hoek van de gnomon is niet relevant. In een dergelijke zonnewijzer zou de middaglijn lopen vanaf de basis van een loodrechte lijn tussen de punt van de gnomon en het wijzerplaatoppervlak). De hyperbolen waren gecentreerd op deze middaglijn. De winterhyperbool opende naar het noorden, de zomerhyperbool naar het zuiden (ervan uitgaande dat de zonnewijzer zich op het noordelijk halfrond bevindt). Naast de middellijn in het midden werden aan weerszijden extra schuine lijnen toegevoegd om de uren van daglicht voor en na het middaguur aan te geven :-

Uit bewaard gebleven voorbeelden van horizontale zonnewijzers blijkt duidelijk dat rechte lijnen die uurpunten op de zomerzonnewende, de equinox en de winterzonnewende met elkaar verbinden, in de Grieks-Romeinse oudheid dienden om deze uurlijnen te benaderen.

Verder:-

… de zonnewende dagcurven op bijna alle bewaard gebleven horizontale zonnewijzers zijn benaderd door onderbroken lijnen die de uurpunten met elkaar verbinden. Dit lijkt erop te wijzen dat de zonnewijzeraarnemer deze uurpunten op de wijzerplaat heeft aangebracht voordat hij de dagcurven heeft gegraveerd.

Het is nog steeds een punt van discussie of sommige, zo niet alle, zonnewijzers van dit type werden getekend door observatie of berekening. Er zijn aanwijzingen dat er projectiemethoden werden gebruikt om de uurpunten te bepalen:

Zowel Vitruvius als Ptolemaeus beschrijven analemma’s die voor bepaalde zonnestand posities dienen om de lengte en de richting te bepalen van de schaduw die door een gnomon op het vlak van een vlakke zonnewijzer wordt geworpen.

Ptolemaeus geeft met name in zijn boek “Over het analemma” methoden om, zowel goniometrisch als grafisch, drie paar sferische coördinaten voor de zon ten opzichte van een gegeven plaats op aarde af te leiden, gegeven de zonsdeclinatie, de breedtegraad van de aarde en het uur van de dag. Hoewel hij dat niet expliciet zegt is elk paar sferische coördinaten bij uitstek geschikt om de lengte en de richting van de schaduw van een gnomon te vinden voor een type vlakke zonnewijzer.

Om de zaak nog ingewikkelder te maken varieerden de precieze specificaties van het netwerk van curven van een zonnewijzer met de breedtegraad van de zonnewijzer. Als het patroon op een zonnewijzer met wiskundige middelen is gemaakt dan is te verwachten dat met de bedoelde breedtegraad rekening is gehouden. Er zijn echter zonnewijzers gevonden in breedtegraden die tot 7 graden breedtegraad (een afstand van meer dan 700 kilometer) verschillen. Het meest significante geval van zo’n afwijking was de zonnewijzer die het eerste officiële uurwerk van Rome was. De Romeinen veroverden een zonnewijzer tijdens een oorlog op Sicilië in 264 v. Chr. Ondanks het verschil van ongeveer 4 breedtegraden heeft de zonnewijzer Rome bijna honderd jaar gediend voordat een nieuwe, voor de stad geijkte zonnewijzer werd geïnstalleerd. Dit ondanks het feit dat de tijd een waarneembare fout vertoonde :-

Hoewel de schaduw van een stok in de grond de eenvoudigste vorm van tijdwaarneming lijkt, is de horizontale zonnewijzer ingewikkelder af te bakenen in de uurruimten voor het tijdelijke uurstelsel dan de zonnewijzers met sferische of kegelvormige doorsnede … omdat een basiskennis van de oorsprong van de hyperbolische schaduwbanen op het platte vlak nodig is om de geometrische figuur aan te passen die nodig is om hem te maken.

De geometrische figuur is het analemma waarover Vitruvius hierboven heeft gesproken. Het analemma is de:-

… projectie van de hemelbol in één vlak, waaruit op zijn beurt de posities van de uren op het vlak van de zonnewijzer werden afgeleid. Vitruvius beschrijft de basisfiguur … hoewel zijn tekst op dit punt enigszins onduidelijk is en hij misschien niet goed begreep wat hij in elk geval beschreef.

Na te hebben beschreven hoe de equinoctiale lijn kan worden gevonden, evenals het punt van het middaguur op de zonnewendes, sluit Vitruvius zijn gedachten over het analemma als volgt af :-

Als deze constructie eenmaal is getekend en uitgevoerd zoals aangegeven, voor de winterlijnen en voor de zomer, voor de equinoctiale lijnen en de maandlijnen, dan moet bovendien het stelsel van uren worden ingeschreven langs de vorm van het analemma. Hieraan kunnen nog vele variëteiten en soorten zonnewijzers worden toegevoegd, en zij worden allen door deze vindingrijke methoden afgetekend. Het resultaat van al deze figuren en hun afbakening is echter identiek, namelijk dat de dag bij de equinox en bij de winterzonnewende, en nogmaals bij de zomerzonnewende, gelijkelijk in twaalf delen verdeeld is. Daarom heb ik er niet voor gekozen deze zaken weg te laten alsof ik afgeschrikt werd door luiheid, maar om geen ergernis te veroorzaken door te veel te schrijven … . Daarom zal ik mij beperken tot het vertellen van de soorten die ons zijn overgeleverd, en door wie ze zijn uitgevonden.

De afwijzende houding van Vitruvius ondersteunt de bewering dat hij de aanpassing van de analemma aan de zonnewijzer niet volledig heeft begrepen. En hoewel hij stelt dat elke zonnewijzer kan worden geconstrueerd uit de analemma, zijn het pas latere auteurs die de details van zulke constructies geven.
Hoewel de aanvankelijke constructie een grotere inspanning vergde, maakte het gemak waarmee dag- en uurlijnen konden worden getrokken bolvormige zonnewijzers in de oudheid populairder dan hun vlakke tegenhangers. Het basisprincipe van de sferische zonnewijzer was dat hij de hemelbol weerspiegelde waarin de zon zich voortbeweegt. De basisconstructie bestond uit het uithollen van een halve bol (of een kleinere wig van een bol) met de top evenwijdig aan de horizon. Een gnomon werd zo opgesteld dat zijn punt zich in het midden van de halve bol bevond, gelijk met het vlak van de horizon. De schaduw van het uiteinde van de gnomon op het oppervlak van de zonnewijzer geeft op een gegeven dag een cirkelboog weer.

De boog van de zomerzonnewende lag het verst naar de onderkant van de hemisfeer. Naarmate de seizoenen naar de winter verschoven, kwamen deze bogen steeds dichter bij de bovenrand van het halfrond te liggen. Deze dagelijkse bogen waren alle evenwijdig, en de boog van de equinox was de helft van een cirkel met hetzelfde middelpunt als de hemisfeer (een grote cirkel). De uurlijnen waren geen cirkelvormige krommen, met uitzondering van die aan de horizon (die zonsopgang en zonsondergang markeren) en de middaglijn. Dit waren grote cirkels die loodrecht op de equinoctiale cirkel stonden :-

Ondanks hun niet-cirkelvormig karakter worden voor breedtegraden beneden 45° de seizoenuurlijnen tussen meridiaan en horizon zeer dicht benaderd door de grote cirkels die wel door overeenkomstige seizoenuurpunten op solstitiale en equinoctiale krommen gaan. De gegraveerde uurlijnen op bewaard gebleven sferische zonnewijzers lijken zulke grootcirkel benaderingen te zijn. De afwijking van de uurlijnen van grote cirkels kan zelfs niet worden waargenomen op de weinige zonnewijzers waar meer dan drie dagcurven zijn verdeeld.

Hiermee was voor het markeren van de uurlijnen geen zorgvuldige observatie of ingewikkelde wiskunde nodig. Alles wat nodig was, was het gebied van de hemisfeer dat de schaduw van de gnomon ontving, in twaalf gelijke delen te verdelen met behulp van grote cirkels, ongeveer zoals een moderne aardbol in lengtegraden is verdeeld. Om de bolvormige zonnewijzer nog eenvoudiger te maken, hoefden de dagcurven niet overeen te komen met de equinoxen of solstitia als de zonnewijzer alleen als klok diende. Twee of drie parallelle cirkelbogen waren voldoende voor een gemakkelijke aflezing (zijnde de overeenkomstige lijnen van de “breedtegraad”). Verscheidene voorbeelden van dergelijke wijzerplaten werden gevonden in vindplaatsen als Pompeii, Herculaneum, Ostia, en Rome. Pas wanneer de wijzerplaat als kalender moest dienen, moesten deze lijnen overeenstemmen met de equinoxen en solstitia.