(Er is nog een “Formule van Euler” over meetkunde,
deze pagina gaat over de formule die gebruikt wordt bij complexe getallen)
Vooreerst hebt u misschien de beroemde “Identiteit van Euler” gezien:
eiπ + 1 = 0
Het lijkt absoluut magisch dat zo’n nette vergelijking combineert:
- e (het getal van Euler)
- i (het imaginaire eenheidsgetal)
- π (het beroemde getal pi dat in veel interessante gebieden opduikt)
- 1 (het eerste telgetal)
- 0 (nul)
En ook nog de basisbewerkingen optellen, vermenigvuldigen, en een exponent heeft!
Maar als u een interessante reis door de wiskunde wilt maken, zult u ontdekken hoe dat in zijn werk gaat.
Geïnteresseerd?
Ontdekking
Het was rond 1740, en wiskundigen waren geïnteresseerd in imaginaire getallen.
Een imaginair getal geeft bij kwadratuur een negatief resultaat
Dit is normaal gesproken onmogelijk (probeer maar eens wat getallen te kwadrateren, bedenk dat vermenigvuldigen van negatieven een positief resultaat geeft, en kijk of je een negatief resultaat kunt krijgen), maar stel je voor dat het kan!
En we kunnen dit speciale getal hebben (i genoemd voor imaginair):
i2 = -1
Leonhard Euler vermaakte zich op een dag, spelend met imaginaire getallen (stel ik me zo voor!), en hij nam deze welbekende Taylorreeks (lees er eens over, ze zijn fascinerend):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
En hij zette er i in:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
En omdat i2 = -1, vereenvoudigt het tot:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Nu alle i-termen aan het eind groeperen:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
En hier is het wonder … de twee groepen zijn eigenlijk de Taylorreeksen voor cos en sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
En zo vereenvoudigt het tot:
eix = cos x + i sin x
Hij moet zo blij geweest zijn toen hij dit ontdekte!
En het wordt nu de Formule van Euler genoemd.
Laten we het eens proberen:
Voorbeeld: als x = 1.1
Note: we gebruiken radialen, geen graden.
Het antwoord is een combinatie van een reëel en een imaginair getal, die samen een complex getal worden genoemd.
We kunnen zo’n getal plotten op het complexe vlak (de reële getallen gaan links-rechts, en de imaginaire getallen gaan omhoog-omlaag):
Hier zien we het getal 0,45 + 0,89 i
Wat hetzelfde is als e1,1i
Laten we nog wat meer plotten!
Een Cirkel!
Ja, de formule van Euler op die grafiek zetten levert een cirkel op:
eix levert een cirkel op met straal 1
En als we een straal van r opnemen, kunnen we elk punt (zoals 3 + 4i) in reix-vorm omzetten door de juiste waarde van x en r te vinden:
Voorbeeld: het getal 3 + 4i
Om 3 + 4i in reix-vorm om te zetten doen we een cartesische naar polaire omrekening:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (tot op 3 decimalen)
Dus 3 + 4i kan ook 5e0,927 i zijn
Het is een andere vorm
Het is eigenlijk een andere manier om een complex getal te hebben.
Dit blijkt heel nuttig te zijn, want er zijn veel gevallen (zoals vermenigvuldiging) waarin het gemakkelijker is om de reix-vorm te gebruiken dan de a+bi vorm.
Ploting eiπ
Tot slot, als we de formule van Euler berekenen voor x = π krijgen we:
En hier is het punt dat door eiπ is ontstaan (waar onze discussie mee begon):
En eiπ = -1 kan herschikt worden tot:
eiπ + 1 = 0
De beroemde Identiteit van Euler.