Deuxième loi du mouvement de Newton

Cette page est destinée aux étudiants de collège et de lycée qui étudient le calcul. Pour les élèves plus jeunes, une explication plus simple des informations contenues dans cette page est disponible sur la page des enfants. Pour les lycéens et les collégiens, il existe une autre version sans calcul.

Sir Isaac Newton a présenté pour la première fois ses trois lois du mouvement dans les « Principia Mathematica Philosophiae Naturalis » en 1686. Sa deuxième loi définit une force comme étant égale à la variation de la quantité de mouvement avec une variation de temps. Le momentum est défini comme étant la masse m d’un objet multiplié par sa vitesse V.

Supposons que nous ayons un avion à un point « 0 » défini par sa position X0 et le temps t0. L’avion a une masse m0 et se déplace à la vitesse V0. L’avion est soumis à une force extérieure F et se déplace vers un point « 1 », qui est décrit par une nouvelle position X1 et un temps t1. La masse et la vitesse de l’avion changent pendant le vol pour prendre les valeurs m1 et V1. La deuxième loi de Newton peut nous aider à déterminer les nouvelles valeurs de V1 et m1, si nous connaissons l’importance de la force F. En utilisant le calcul pour décrire la deuxième loi de Newton :

F = d (m * V) / dt

Cette équation différentielle peut être résolue avec les conditions aux limites que nous avons décrites ci-dessus en supposant que nous connaissons la variation de la force F en fonction du temps.

Supposons que la masse reste une valeur constante égale à m. Cette hypothèse est assez bonne pour un avion, le seul changement de masse serait pour le carburant brûlé entre le point « 1 » et le point « 0 ». Le poids du carburant est probablement faible par rapport au poids du reste de l’avion, surtout si l’on ne considère que les petits changements dans le temps… Si nous parlions du vol d’une balle de baseball, la masse resterait certainement constante. Mais si nous discutons du vol d’une fusée-bouteille, alors la masse ne reste pas constante et nous devons spécifier comment la masse varie dans le temps pour effectuer l’intégration. Pour une masse constante m, la deuxième loi de Newton ressemble à :

F = m * dv / dt

La dérivée de la vitesse par rapport au temps est la définition de l’accélération a. La deuxième loi se réduit alors au produit plus familier d’une masse et d’une accélération :

F = m * a

Rappellez-vous que cette relation n’est bonne que pour les objets qui ont une masse constante.Cette équation nous dit qu’un objet soumis à une force extérieure va accélérer et que la quantité d’accélération est proportionnelle à la taille de la force. La quantité d’accélération est également inversement proportionnelle à la masse de l’objet ; à force égale, un objet plus lourd subira moins d’accélération qu’un objet plus léger. Si l’on considère l’équation de la quantité de mouvement, une force entraîne un changement de vitesse et, de même, un changement de vitesse génère une force. L’équation fonctionne dans les deux sens.

La vélocité, la force, l’accélération et la quantité de mouvement ont à la fois une magnitude et une direction qui leur sont associées. Les scientifiques et les mathématiciens appellent cela une quantité vectorielle. Les équations présentées ici sont en fait des équations vectorielles et peuvent être appliquées dans chacune des directions des composants. Nous n’avons examiné qu’une seule direction et, en général, un objet se déplace dans les trois directions (haut-bas, gauche-droite, avant-arrière).

Le mouvement d’un avion résultant des forces aérodynamiques, du poids de l’avion et de la poussée peut être calculé en utilisant la deuxième loi du mouvement. Mais il y a un problème fondamental lorsqu’on traite des forces aérodynamiques. Les forces aérodynamiques dépendent du carré de la vitesse. L’intégration des équations différentielles devient donc un peu plus compliquée. Nous montrons les détails de l’intégration à la page web sur les équations de vol avec traînée.

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