Vad är fraktaler och varför ska jag bry mig?

Fraktalgeometri är ett område inom matematiken som föddes på 1970-talet och som främst utvecklats av Benoit Mandelbrot. Om du redan har hört talas om fraktaler har du förmodligen sett bilden nedan. Den kallas Mandelbrot-uppsättningen och är ett exempel på en fraktalform.

Den geometri som du lärde dig i skolan handlade om hur man gör former; fraktalgeometri är inte annorlunda. Medan de former som du lärde dig i klassisk geometri var ”släta”, till exempel en cirkel eller en triangel, är de former som kommer från fraktal geometri ”grova” och oändligt komplexa. Fraktalgeometri handlar dock fortfarande om att göra former, mäta former och definiera former, precis som i skolan.

Det finns två anledningar till varför du bör bry dig om fraktalgeometri:

1. Den process genom vilken former skapas i fraktal geometri är förvånansvärt enkel men ändå helt annorlunda jämfört med klassisk geometri. Medan klassisk geometri använder formler för att definiera en form använder fraktal geometri iteration. Den bryter därför med jättar som Pythagoras, Platon och Euklid och går i en annan riktning. Den klassiska geometrin har haft över 2000 års granskning, medan den fraktala geometrin endast har haft 40 år.

2. De former som kommer ut ur den fraktala geometrin ser ut som naturen. Detta är ett fantastiskt faktum som är svårt att ignorera. Som vi alla vet finns det inga perfekta cirklar i naturen och inga perfekta kvadrater. Inte bara det, utan när man tittar på träd eller berg eller flodsystem liknar de inte några former som man är van vid inom matematiken. Med enkla formler som upprepas flera gånger kan fraktalgeometrin dock modellera dessa naturfenomen med alarmerande noggrannhet. Om man kan använda enkel matematik för att få saker att se ut som världen, så vet man att man har en vinnare. Fraktalgeometri gör detta med lätthet.

Detta blogginlägg ska ge en snabb översikt över hur man gör fraktalformer och visa hur dessa former kan likna naturen. Det ska sedan fortsätta med att tala om dimensionalitet, vilket är ett häftigt sätt att mäta fraktaler. Det avslutas med att diskutera hur fraktal geometri också är fördelaktigt eftersom slumpmässighet kan införas i strukturen av en fraktal form. Inlägget kräver nästan ingen matematik och innehåller många vackra bilder

Hur man gör en fraktalform

I normal geometri definieras former genom en uppsättning regler och definitioner. En triangel består till exempel av tre raka linjer som är sammankopplade. Reglerna är att om du har längden på alla tre sidorna i triangeln är den helt definierad, även om du har längden på en sida och två motsvarande vinklar är triangeln också definierad. Även om reglerna för att definiera en triangel är enkla har enorma mängder användbar matematik tagits fram ur den, till exempel Pythagoras’ Theorum, sin() cos() och tan(), beviset för att det kortaste avståndet mellan två punkter är en rät linje etc.

Fraktalgeometri definierar också former med hjälp av regler, men dessa regler skiljer sig från reglerna i den klassiska geometrin. I fraktal geometri skapas en form i två steg: först genom att göra en regel om hur en viss (vanligtvis klassiskt geometrisk) form ska ändras. Denna regel tillämpas sedan på formen om och om igen, till oändligheten. Inom matematiken när man ändrar något brukar det kallas för en funktion, så vad som händer är att en funktion tillämpas på en form rekursivt, som i diagrammet nedan.

När det har upprepats ett oändligt antal gånger skapas den fraktala formen. Vad är då dessa funktioner? Vad menar du med att de upprepas oändligt många gånger? Som alltid förklaras detta bäst med ett exempel…

En bra fraktalform kallas von Koch-kurvan. Reglerna, eller funktionen, är extremt enkla. Först börjar man med en rak linje. Detta är din ”ursprungliga form”:

Reglerna är följande:

1. Dela varje rak linje i tre lika stora segment.

2. Ersätt det mittersta segmentet med en liksidig triangel och ta bort den sida av triangeln som motsvarar den ursprungliga raka linjen.

Processen visas i figuren nedan:

Detta är vad som händer med den raka linjen, vår ursprungliga form, när den går igenom funktionen första gången, den första iterationen. Nu förs den form som den har gett upphov till tillbaka in i funktionen igen för en andra iteration:

Håll dig i minnet att regeln var att varje rak linje skulle delas upp i tredjedelar, så nu delas 4 linjer upp och görs till trianglar. Formen som produceras efter den andra iterationen matas sedan genom funktionen för en tredje gång. Detta blir svårt att rita i MS paint så jag har använt ett par bilder från den här webbplatsen för de kommande stegen:

När detta har itererats ett oändligt antal gånger definieras den fraktala formen. Detta kan låta förvirrande men det är ändå möjligt att analysera det matematiskt och visuellt kan man se hur formen börjar se ut. Giffilen nedan (från Wikipedia) är en bra illustration av hur kurvan ser ut om man zoomar in på den:

Von Koch-kurvan är ett utmärkt exempel på en fraktal: regeln man tillämpar är enkel, men den resulterar ändå i en så komplex form. Denna typ av form är omöjlig att definiera med hjälp av konventionell matematik, men så lätt att definiera med hjälp av fraktalgeometri.

Så vem bryr sig om von Koch-kurvan? Är det inte bara matematiker som slösar tid på konstiga former? Jag antar att det beror på hur man ser på den, men jag är övertygad om att den är användbar eftersom den ser exakt ut som en snöflinga. Detta blir tydligare om den ursprungliga formen man börjar med är en triangel i stället för en rak linje:

Det finns en hel debatt om matematikens syfte, men som ingenjör är jag benägen att säga att ett av dess syften är att försöka replikera världen omkring oss. De former som kommer ut ur fraktalmatematiken skiljer sig så mycket från konventionella matematiska former och liknar så mycket vår omvärld att jag inte kan låta bli att låta mig förföras av detta ämne. Två andra former som är mina favoriter är Barnsley Fern:

och fraktala träd:

Dessa är inte teckningar eller bilder, utan matematiska former. Om man tittar på formerna kan man se vilken funktion som upprepas. Till exempel på Barsley Fern är funktionen att rita ett 30-tal vinkelräta linjer av varje rak linje. Funktionen upprepar sig och ser ut som en ormbunke. På trädet kan du se att varje linje förgrenar sig två gånger, vilket är den funktion som upprepar sig själv. En annan egenskap hos dessa former (även om det strikt sett inte gäller för alla fraktaler) är att de är självliknande. Det innebär att formen ser ut som sig själv hur mycket man än zoomar in eller ut. Om man till exempel skulle bryta av en gren från trädet ovan och ställa upp det, skulle det se ut som det ursprungliga trädet. Om du tar en kvist från grenen och ställer upp den skulle det fortfarande se ut som det ursprungliga trädet. Återigen är detta en egenskap som förekommer i naturen, men innan fraktalgeometrin fanns det inget bra sätt att uttrycka den i matematiken.

Det är inte bara så att dessa former ser ut som naturliga objekt, utan processen med iteration låter intuitivt när man tänker på naturen. När ett träd växer kommer dess stam att skapa grenar, dessa grenar skapar ytterligare grenar, dessa grenar skapar kvistar. Det är som om funktionen är en genetisk kod som talar om för grenen hur den ska växa och upprepa sig, för att så småningom skapa former som är ”naturliga”. Detta kan låta som pseudovetenskap (det är det definitivt) men jag tycker att detta är begrepp som är värda att tänka på när man kan imitera naturen så nära.

Tillräckligt om naturen, dags att prata om hur fraktaler har galna dimensioner.

Dimensioner

När vi nu vet vad fraktalformer är och hur man gör dem, skulle vi vilja veta några saker om dem. En av de första sakerna att försöka ta reda på är längden på vissa av dessa former. Låt oss gå tillbaka till von Koch-kurvan.

För att räkna ut hur lång hela von Koch-kurvan är (efter att ha itererats ett oändligt antal gånger) är det användbart att betrakta vad som händer i det första steget igen:

Linjen delas upp i tre, sedan ersätts den mittersta delen av två linjer som är lika långa som den (eftersom det är en lika lång triangel). Så om den ursprungliga raka linjen hade en längd på 1 är kurvans längd efter den första iterationen 4/3. Det visar sig att varje gång du itererar formen blir den 4/3 längre. Så längden på kurvan efter den andra iterationen är 4/3 x 4/3 = 16/9:

Då 4/3 är större än 1 blir linjen längre varje gång den itereras genom funktionen. När du itererar funktionen ett oändligt antal gånger har hela von Koch-kurvan en omkrets som är oändligt lång! Detta är fallet för alla fraktala former: de har oändligt långa omkretsar. Det är inte användbart för matematiker, så de mäter inte formens omkrets. Nu kräver nästa paragraf lite abstrakt tänkande, men om man tänker lite utanför boxen blir det vettigt.

Perimetern mäter längden runt något. Längden är ett endimensionellt mått på rymden. Längden är 1D eftersom den bara mäter en rak linje. Ett 2D-mått på rymden är area, 3D-mått är volym. Nu har vi visat att det inte är användbart att mäta fraktala mönster i 1 dimension eftersom de är oändligt långa, men vad som är märkligt är att fraktala former inte är 1D, 2D eller 3D. Varje fraktalform har sin egen unika dimension, som vanligtvis är ett tal med en decimal.

Dimensionen hos en fraktalform är ett mått på hur snabbt formen blir komplicerad när man upprepar den. Vad menar vi med att den blir komplicerad? Jo, i von Koch-kurvan kan man se att de första iterationerna ger ganska enkla former, men ungefär vid iteration 4 börjar den bli ganska liten och komplex.

Sättet att mäta hur snabbt en form blir komplicerad, och därmed dess dimension, är att mäta hur mycket längre omkretsen blir efter varje iteration. Detta är intuitivt vettigt, för om linjen blir mycket längre efter varje iteration blir den förmodligen mycket komplicerad mycket snabbt, medan om linjen förblir ganska lika lång efter varje iteration blir den förmodligen inte särskilt komplicerad.

Som vi redan har visat blir von Koch-kurvan 4/3 längre efter varje iteration. Detta innebär att von Koch-kurvan är 4/3 D, eller 1,3333…D. Ganska galet, eller hur? Den existerar någonstans mellan 1D och 2D. Men detta mått är verkligen användbart för matematiker eftersom det ger information om formen (medan omkretsen inte gör det, den är alltid oändlig). Om det till exempel fanns en annan fraktalform som var 1,93D, skulle man med säkerhet kunna säga att den formen blir mer komplex snabbare än von Koch-kurvan, eftersom omkretsen blir 1,93 gånger längre efter varje iteration i stället för 1,3333, vilket innebär att den blir mer komplex snabbare. När man studerar en fraktalform är det av integrerad betydelse att känna till dess dimension.

Slumpmässighet

Det sista jag ska tala om är det faktum att slumpmässighet kan införas i fraktalformer. Slumpmässiga (eller till synes slumpmässiga) händelser förekommer hela tiden i naturen och påverkar olika saker på en mängd olika sätt, till exempel handlar en stor del av informationstekniken om brus, som slumpmässigt fluktuerar en elektronisk signal. När man försöker replikera detta lägger man vanligen slumpmässighet ovanpå en signal. Inom elektronik skulle man till exempel skapa en fin sinusvåg och sedan lägga till brus ovanpå den (lånat från den här webbplatsen):

Den nedre bilden är den ”rena” vågen, och den övre bilden är vågen med brus som lagts till. Ett inneboende antagande när man gör detta är att det finns en underliggande ”ren” signal som förändras slumpmässigt. Även om detta kan vara sant för mycket elektronik, kan man inte säga samma sak om naturen. Ofta finns det inte en ”ren” form som ändras slumpmässigt i kanterna (det finns t.ex. inte många oskarpa kvadrater i naturen), utan det är snarare slumpen som påverkar själva formens struktur i varje skede av dess utveckling. Klassisk geometri är inte bra på att införliva slumpmässighet i formerna, medan fraktal geometri kan göra det lätt. Låt oss för sista gången ta upp von Koch-kurvan. Den här gången kommer vi dock att infoga slumpmässighet i den.

Vi vet att regeln är att för varje iteration skapas en triangel i den mellersta tredjedelen av en linje. Men varje gång är trianglarna alltid vända ”utåt”. Vi skulle kunna införa slumpmässighet genom att säga att för varje triangel som skapas går den antingen över linjen eller under linjen beroende på ett myntkast:

Nu kommer formen att utvecklas slumpmässigt beroende på myntkastningen. Efter flera iterationer kan till exempel von Koch-kurvan se ut så här:

Och den kan se helt annorlunda ut. Det som är häftigt med detta är att du kan infoga slumpmässighet i själva formen i stället för att lägga till den ovanpå en befintlig form. Detta har en spännande potential, till exempel (för att gå tillbaka till naturen) kan detta vara ett bra sätt att modellera slumpmässiga genetiska mutationer.