Först ska vi börja med den egenskap hos fraktaler som vi observerade i Romanesco blomkålen.
Egenskap: Självlikhet är egenskapen att när man zoomar in i ett objekt får man fram ett oändligt upprepande mönster.
Ett annat exempel på självlikhet i naturen är de upprepande mönstren i kristalliserande vatten och snöflingor.
”Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)
Hur kan vi beskriva dessa självlikhetsmönster och hur kan vi matematiskt generera självlikhetsformer som kan reproduceras vid alla förstoringar? Vi har sett fraktala mönster i snöflingor, så låt oss börja med att generera ett självliknande mönster som liknar en snöflinga.
Koch Snowflake
Genom att börja med en liksidig triangel skapar du en liksidig triangel genom att använda den mellersta tredjedelen av varje sida som bas, och tar sedan bort basen av triangeln. Upprepa nu denna process för varje linjesegment i den resulterande figuren. Här är de första iterationerna:
Fortsätter du denna process får du Kochs snöflinga i gränsen. Här är en närbild av gränsen efter flera iterationer:
Då en inzoomning på Kochs snöflinga ger en kurva som är en kopia av sig själv i en mindre skala (kallad Koch-kurvan), uppvisar Kochs snöflinga självlikhet.
Om den liksidiga triangeln vi börjar med har sidlängden 1, så lägg märke till att genom att ersätta varje linjesegment med 444 segment av en tredjedels längd multiplicerar vi längden med 43 \frac{4}{3} 34 vid varje steg. Detta visar att efter nnn steg är längden på omkretsen 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, så Kochstjärnan har oändlig omkrets om den mäts som en 1-dimensionell kurva.
Men som vi kommer att se senare uppstår detta eftersom Kochs snöflinga bör betraktas som mer än 1 dimension och att försöka mäta en form i fel dimension ger ett meningslöst svar. Detta kan liknas vid att försöka mäta mängden av en mycket tunn tråd som behövs för att täcka en tvådimensionell kvadrat. Vi skulle behöva en oändligt lång tråd eftersom vi försöker mäta ett tvådimensionellt objekt med en endimensionell kurva.
Vilket är det område som omsluts av en Kochs snöflinga som utgår från en liksidig triangel med sidlängden 1?
A. 1
B. 12\frac{1}{2} 21
C. 235 \frac{2\sqrt{3}}}{5}523
D. 234 2 \frac{\sqrt{3}}}{4}243
E. Area is infinite
Kochs snöflinga visar att även om fraktaler är komplexa kan de skapas genom att upprepade gånger tillämpa enkla regler. Vi kan tänka oss starttriangeln i Kochs snöflinga som initiativtagare och steget att ersätta varje linje med en topp som generator. Om vi i stället börjar med ett linjesegment som initiativtagare och använder följande generator får vi ett annat mönster.
Dessa exempel visar följande egenskaper hos fraktaler:
Fraktaler har detaljer i godtyckligt små skalor och uppvisar oregelbundenhet som inte kan beskrivas med traditionellt geometriskt språk.
Med andra ord är fraktaler objekt som, oavsett förstoring, aldrig kommer att ”slätas ut” så att de ser ut som euklidiskt rum.
Sierpinski gasket
Sierpinski gasket är en triangel som består av mindre kopior av sig själv. Börja med en fylld triangel, koppla samman mittpunkterna på varje sida, ta bort den mittersta triangeln och iterera över de återstående tre fyllda trianglarna.
Om vi börjar med en triangel med sidlängden 111, vad är då arean av Sierpinski gasket (det svart färgade utrymmet) i det nnn:e steget? Observera att antalet svarta trianglar i det nnn:e steget är 3n3^n3n och att längden på sidan av en triangel i det nnn:e steget är (12)n\left( \frac{1}{2} \right)^n(21)n. Då är arean av det svarta utrymmet i det nnn:e steget 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n⋅(21)n gånger arean av den ursprungliga triangeln, or
3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.
Detta närmar sig 0 när nnn går mot oändligheten. Liksom Kochs snöflinga bör man tänka sig att Sierpinski-packningen har en dimension som är mindre än 2, och att mäta den i fel dimension ger ett meningslöst svar.