Faktorisering av polynom av högre grad (video) Faktorisering av polynom av högre gradgraders polynomier

plottar de verkliga nollpunkterna för det givna polynomet på grafen nedan och de ger oss P av X är lika med 2x till fem plus X till fyra minus 2x minus ett när de säger plottat så ger de oss den här lilla widgeten här där om vi klickar på någon punkt på den här så får vi vår punkt och vi får så många punkter som vi vill och vi kan dra runt dessa punkter. eller om vi inte vill ha dessa punkter längre kan vi bara dumpa dem i den här lilla papperskorgen längst ner till höger så låt oss fundera på vad nollorna i det här polynomet faktiskt är för att göra det tar jag fram mitt griffeltavla och det här är lite skrämmande till en början det här är en femte grad det här är ett femte gradens polynom här att faktorisera femte gradens polynom är verkligen något av en konst du måste verkligen sitta och leta efter mönster om de faktiskt förväntar sig att du ska hitta nollorna här utan hjälp av en dator utan hjälp av en miniräknare så måste det finnas någon typ av mönster som du kan plocka ut här så låt mig bara skriva om P av X så P av X är lika med 2x till femtondelen plus X till fyrtondelen minus 2x minus en och på ett sätt är det typiskt sett när du försöker faktorisera den här typen av polynom är att i huvudsak försöka ångra den distributiva egenskapen några gånger och om du vill relatera det till tekniker för att faktorisera kvadrater är det i huvudsak faktorisering genom att gruppera så till exempel du ser en 2x du ser en 2x minus 1 eller något som ser ut som en 2x minus 1 precis här borta och här borta har du en 2x till den femma plus X till den fjärde så du har en 2x av en högre grad term plus en 1 X av en 1 grad lägre så det verkar vara någon typ av mönster 2 gånger X av en högre grad detta är den första gradens term minus 1 gånger du skulle kunna se detta som X till 0 av en lägre grad term och så låt oss tänka på det lite vad som händer om vi i huvudsak försöker att gruppera dessa två termer och vi grupperar dessa två termer här borta och vi försöker faktorisera ut något för att i huvudsak rensa upp det lite för att se om vi kan göra det begripligt, väl dessa två termer den största gemensamma faktorn är X till 4 vi skulle kunna skriva detta som X till fjärde gånger 2x plus 1 och detta borde få oss upphetsade eftersom detta ser ganska nära ut till det, särskilt om vi skulle faktorisera ut en negativ 1 här så vi skulle kunna faktorisera ut en negativ 1 och då kommer detta att vara 2x plus 1 och det är spännande för nu kan vi faktorisera ut en 2x plus 1 från var och en av dessa var och en av dessa termer så du har en 2x plus 1 vi kommer att faktorisera ut båda dessa vi kommer att faktorisera ut båda dessa för att få 2x plus 1 som vi just faktoriserat ut och om du faktoriserat ut det från denna term precis över denna term här borta så är du kvar med X till den fjärde och du faktoriserar ut denna term så är du kvar med bara minus 1 minus 1 och nu är detta spännande eftersom detta är mycket till X plus 1 detta är ganska lätt att räkna ut när är denna sak lika med 0 och vi kommer att göra det om en liten stund och detta är ganska lätt att faktorisera detta är en skillnad av kvadrater detta här borta kan vara åter-skrivas som kan återges somskrivas som x kvadrat plus 1 gånger x kvadrat minus gånger x kvadrat minus 1 och naturligtvis har vi fortfarande detta 2x plus 1 framför oss 2x plus 1 och återigen har vi en annan skillnad av kvadrater vi har en annan skillnad av kvadrater här borta som är samma sak som X plus 1 gånger X minus 1 och låt mig bara skriva alla de andra delarna av detta uttryck x kvadrat plus 1 och du har 2x plus 1 2x plus 1 och jag tror att jag har faktoriserat P av X ungefär så mycket som man rimligen kan förvänta sig så P av X är lika med alla dessa saker här kom ihåg att hela anledningen till att jag ville faktorisera det är att jag ville räkna ut när desisting är lika med 0 så om P av X kan uttryckas som produkten av en massa av dessa uttryck så kommer det att vara 0 närhelst vid minst ett av dessa uttryck är lika med 0 om något av dessa är lika med 0 så kommer det bara att göra hela detta uttryck lika med 0 så när är 2x plus 1 lika med 0 så 2x plus 1 är lika med 0 ja du kan förmodligen göra detta i ditt huvud vad vi gör det vi kan göra det systematiskt liksom subtrahera en från båda sidor du får två x är lika med negativ en dividera båda sidor med 2 får du X är lika med negativ 1/2 så när x är lika med negativ 1/2 eller du ett sätt att tänka på P av negativ 1/2 är 0 så P av negativ 1/2 är 0 så detta här borta är en punkt på grafen och det är en av de riktiga nollorna nu kan vi försöka lösa detta x i kvadrat plus 1 är lika med 0 jag ska bara skriva ner det bara för att visa dig att om vi försöker isolera X-termen till vänster subtrahera 1 från båda sidor så får du x i kvadrat är lika med negativ 1 nu om vi skulle gå om vi börjar tänka på imaginära tal så skulle vi kunna tänka på vad X skulle kunna vara men de vill att vi ska hitta de riktiga nollorna de riktiga nollorna så det finns inget riktigt tal där det talet i kvadrat är lika med negativ 1 så vi kommer inte att få några nollor genom att ställa in detta riktiga nollor genom att ställa in detta Vi kommer inte att få något verkligt tal x där x kvadrat plus 1 kommer att vara lika med 0. Låt oss fundera på när X plus 1 kan vara lika med 0. Vi subtraherar 1 från båda sidorna och får X är lika med negativ 1 så P av negativ 1 kommer att vara 0 så det är ytterligare en av våra nollor där, och till sist har vi låt oss fundera på när X minus 1 är lika med 0. är lika med 0, lägg till 1 till båda sidor X är lika med 1 så vi har en annan 0 vi har en annan riktig 0 där borta och så vi kan plotta dem låt mig så det är negativ 1 negativ 1/2 och 1 så det är negativ 1 negativ 1/2 och 1 och vi kan kontrollera vårt svar och vi har det just nu en sak som kanske säger att du vet stör dig är som hey du vet Sal du råkar bara gruppera detta på exakt rätt sätt vad händer om jag försöker gruppera på ett annat sätt vad händer om jag vad händer om jag försöker och faktiskt låt oss försöka göra det som kan vara intressant bara för att visa dig att detta inte är voodoo och faktiskt finns det flera sätt att komma dit det finns flera sätt att komma dit så vad händer om istället för att skriva det så här vi skriver det du skriver det typ av i den högsta-grad och sedan nästa högsta grad och så vidare och så vidare om du skulle skriva det så här P av X är lika med 2 X till den femte minus 2x plus X till den fjärde minus 1 ja faktiskt även på det här sättet skulle du kunna göra en ganska intressant gruppering om du grupperar de här två tillsammans så ser du att de har den gemensamma faktorn 2x, du faktoriserar ut 2x så får du 2x gånger X till den fjärde minus 1 och jag tror att du ser vad som händer och sedan kan det här vara re-skrivas som plus 1 gånger X till 4:e mitt X till 4:e minus 1 minus 1 och nu kan du faktorisera ut ett X till 4:e minus 1 och du är kvar med bara i en neutral färg X till 4:e minus 1 gånger 2x plus 1 som är mycket lättare att faktorisera nu skillnad av kvadrater exakt vad vi gjorde förra gången så det finns flera sätt som du rimligen kunde ha grupperat detta och rimligen upphävt den distributiva men jag erkänner att det är något av en konst du måste verkligen bara leka runt och se låt oss gruppera de två första termerna låt oss se om det finns en gemensam faktor här låt oss gruppera de två andra termerna se om det finns en gemensam faktor här hej när vi faktoriserar ut de gemensamma faktorerna ser det ut som om båda de här två termerna har det här gemensamma uttrycket som faktor och då kan du börja faktorisera ut det