(Mai există o altă „Formulă a lui Euler” despre geometrie,
această pagină este despre cea folosită în cazul numerelor complexe)
În primul rând, poate ați văzut faimoasa „Identitate a lui Euler”:
eiπ + 1 = 0
Pare absolut magic faptul că o astfel de ecuație atât de clară se combină:
- e (numărul lui Euler)
- i (numărul imaginar unitar)
- π (celebrul număr pi care apare în multe domenii interesante)
- 1 (primul număr de numărare)
- 0 (zero)
Și are și operațiile de bază de adunare, înmulțire și un exponent!
Dar dacă vreți să faceți o călătorie interesantă prin matematică, veți descoperi cum se ajunge la ea.
Vă interesează? Citiți mai departe!
Descoperire
Era în jurul anului 1740, iar matematicienii erau interesați de numerele imaginare.
Un număr imaginar, atunci când este ridicat la pătrat dă un rezultat negativ
În mod normal, acest lucru este imposibil (încercați să ridicați la pătrat câteva numere, amintindu-vă că înmulțirea numerelor negative dă un rezultat pozitiv, și vedeți dacă puteți obține un rezultat negativ), dar imaginați-vă că o puteți face!
Și putem avea acest număr special (numit i pentru imaginar):
i2 = -1
Leonhard Euler se distra într-o zi, jucându-se cu numere imaginare (sau cel puțin așa îmi imaginez!), și a luat această binecunoscută serie Taylor (citiți despre ele, sunt fascinante):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
Și a pus și i în ea:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
Și pentru că i2 = -1, se simplifică la:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Acum grupați toți termenii i la sfârșit:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Și iată miracolul … cele două grupe sunt de fapt seriile Taylor pentru cos și sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
Și astfel se simplifică la:
eix = cos x + i sin x
Trebuie să fi fost atât de fericit când a descoperit acest lucru!
Și acum se numește formula lui Euler.
Să o încercăm:
Exemplu: când x = 1,1
Nota: folosim radiani, nu grade.
Răspunsul este o combinație între un număr real și un număr imaginar, care împreună se numesc numere complexe.
Putem reprezenta un astfel de număr pe planul complex (numerele reale merg stânga-dreapta, iar numerele imaginare merg sus-jos):
Aici arătăm numărul 0,45 + 0,89 i
Care este același cu e1,1i
Să mai reprezentăm câteva numere!
Un cerc!
Da, punând formula lui Euler pe acel grafic se obține un cerc:
eix produce un cerc de rază 1
Și când includem o rază de r putem transforma orice punct (cum ar fi 3 + 4i) în forma reix prin găsirea valorii corecte a lui x și r:
Exemplu: numărul 3 + 4i
Pentru a transforma 3 + 4i în forma reix facem o conversie din carteziană în polară:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (cu 3 zecimale)
Atunci 3 + 4i poate fi și 5e0,927 i
Este o altă formă
Este practic un alt mod de a avea un număr complex.
Acest lucru se dovedește a fi foarte util, deoarece există multe cazuri (cum ar fi înmulțirea) în care este mai ușor să se folosească forma reix decât forma a+bi.
Plotarea lui eiπ
În sfârșit, când calculăm formula lui Euler pentru x = π obținem:
Și iată punctul creat de eiπ (de unde a început discuția noastră):
Și eiπ = -1 poate fi rearanjat în:
eiπ + 1 = 0
Celebra Identitate a lui Euler.