O que são fractais e porque me devo importar?

Geometria Fraternal é um campo de matemática nascido nos anos 70 e desenvolvido principalmente por Benoit Mandelbrot. Se você já ouviu falar de fractais, provavelmente já viu a figura abaixo. É chamado de Mandelbrot Set e é um exemplo de uma forma fractal.

A geometria que você aprendeu na escola era sobre como fazer formas; a geometria fractal não é diferente. Enquanto as formas que você aprendeu na geometria clássica eram ‘lisas’, como um círculo ou um triângulo, as formas que saem da geometria fractal são ‘ásperas’ e infinitamente complexas. No entanto a geometria fractal ainda é sobre fazer formas, medir formas e definir formas, assim como a escola.

Existem duas razões pelas quais você deve se importar com a geometria fractal:

1. O processo pelo qual as formas são feitas em geometria fractal é surpreendentemente simples, mas completamente diferente da geometria clássica. Enquanto a geometria clássica utiliza fórmulas para definir uma forma, a geometria fractal utiliza a iteração. Portanto, ela rompe com gigantes como Pitágoras, Platão e Euclides, e se posiciona em outra direção. A geometria clássica tem gozado de mais de 2000 anos de escrutínio, a geometria fractal tem gozado apenas de 40.

2. As formas que saem da geometria fractal parecem-se com a natureza. Este é um fato surpreendente que é difícil de ignorar. Como todos sabemos, não há círculos perfeitos na natureza e não há quadrados perfeitos. Não só isso, mas quando você olha para árvores, montanhas ou sistemas fluviais eles não se assemelham a nenhuma forma a que se está acostumado em matemática. No entanto, com fórmulas simples iteradas várias vezes, a geometria fractal pode modelar estes fenómenos naturais com uma precisão alarmante. Se você pode usar matemática simples para fazer as coisas parecerem o mundo, você sabe que você está em um vencedor. Fractal geometry faz isso com facilidade.

Este post no blog deve dar uma rápida visão geral de como fazer formas fractais e mostrar como essas formas podem se assemelhar à natureza. Em seguida, ele deve falar sobre dimensionalidade, que é uma maneira legal de medir fractais. Ele termina discutindo como a geometria fractal também é benéfica porque a aleatoriedade pode ser introduzida na estrutura de uma forma fractal. O post quase não requer matemática e inclui muitas figuras bonitas

Como fazer uma forma fractal

Na geometria normal as formas são definidas por um conjunto de regras e definições. Por exemplo, um triângulo consiste em três linhas rectas que estão ligadas. As regras são que se você tiver o comprimento dos três lados do triângulo ele é completamente definido, também se você tiver o comprimento de um lado e dois ângulos correspondentes o triângulo também é definido. Embora as regras que definem um triângulo sejam simples, enormes quantidades de matemática útil saíram dele, por exemplo o Teorum de Pitágoras, sin() cos() e tan(), a prova de que a distância mais curta entre dois pontos é uma reta, etc.

Fractal geometry também define formas por regras, contudo estas regras são diferentes das da geometria clássica. Na geometria fractal uma forma é feita em dois passos: primeiro fazendo uma regra sobre como mudar uma determinada forma (geralmente classicamente geométrica). Esta regra é então aplicada à forma uma e outra vez, até ao infinito. Em matemática, quando você muda algo é normalmente chamada de função, então o que acontece é que uma função é aplicada a uma forma recursivamente, como o diagrama abaixo.

Após ter repetido uma quantidade infinita de vezes, a forma fractal é produzida. Quais são então essas funções? O que você quer dizer com repetir infinitamente? Como sempre, isto é melhor explicado por um exemplo…

Uma boa forma fractal é chamada de curva de von Koch. As regras, ou função, são extremamente simples. Primeiro você começa com uma linha reta. Esta é a sua ‘forma inicial’:

As regras são as seguintes:

1. Divida cada linha reta em 3 segmentos iguais.

2. Substitua o segmento médio por um triângulo equilátero, e remova o lado do triângulo correspondente à linha reta inicial.

O processo é mostrado na figura abaixo:

É o que acontece com a linha reta, nossa forma inicial, quando ela passa pela função na primeira vez, a primeira iteração. Agora, a forma que ela produziu é alimentada novamente na função para uma segunda iteração:

Lembrar que a regra era que qualquer linha reta seria dividida em terços, então agora 4 linhas são divididas e feitas em triângulos. A forma que é produzida após a segunda iteração é então alimentada através da função por uma terceira vez. Isto fica difícil de desenhar em tinta MS, então eu usei alguns quadros deste site para as próximas etapas:

Após isto ter iterado uma quantidade infinita de vezes a forma fractal é definida. Isto pode parecer desconcertante, mas ainda é possível analisá-lo matematicamente e visualmente, você pode ver como a forma começa a se parecer. O gif abaixo (da Wikipedia) é uma boa ilustração de como a curva se parece com o zoom:

A curva von Koch é um grande exemplo de um fractal: a regra que você aplica é simples, mas resulta em uma forma tão complexa. Este tipo de forma é impossível de definir usando matemática convencional, porém tão fácil de definir usando geometria fractal.

Então quem se importa com a curva von Koch? Não é apenas matemáticos perdendo tempo com formas estranhas? Acho que isso depende de como você olha para ela, mas estou convencido de que é útil porque se parece exatamente com um floco de neve. Isto fica mais claro se a forma inicial com que se começa é um triângulo em vez de uma linha reta:

Existe todo um debate a ser feito sobre o propósito da matemática, mas como Engenheiro estou inclinado a dizer que um dos seus propósitos é tentar replicar o mundo à nossa volta. As formas que saem da matemática fractal são tão diferentes das formas matemáticas convencionais e tão semelhantes ao mundo que nos rodeia que não posso deixar de ser seduzido por este tópico. Duas outras formas que são as minhas favoritas são a samambaia de Barnsley:

E árvores fractais:

Não são desenhos ou figuras, mas sim formas matemáticas. Se você olhar para as formas você pode ver qual função se repete. Por exemplo, na Barsley Fern a função é desenhar cerca de 30 linhas perpendiculares a partir de cada linha reta. A função repete-se a si mesma e parece uma samambaia. Na árvore você pode ver que cada linha se ramifica duas vezes, que será a função que se repete a si mesma. Outra propriedade sobre estas formas (embora estritamente não para todos os fractais) é que elas são auto-similares. Isto significa que a forma se parece a si mesma por mais que se aumente ou diminua o zoom. Por exemplo, na árvore acima, se você arrancar um galho e o levantar, ele se parecerá com a árvore original. Se você pegasse um galho do galho e o levantasse, ele ainda se pareceria com a árvore original. Novamente, esta é uma propriedade que ocorre na natureza, mas até a geometria fractal não havia uma boa maneira de colocá-la em matemática.

Não apenas essas formas parecem objetos naturais, mas o processo de iteração parece intuitivo quando se pensa na natureza. Quando uma árvore está crescendo, seu tronco vai criar ramos, estes ramos criam outros ramos, estes ramos criam galhos. É como se a função fosse um código genético que diz ao ramo como crescer e se repetir, eventualmente criando formas que são ‘naturais’. Isto pode soar como pseudociência (definitivamente é) mas eu acho que estes são conceitos que vale a pena considerar quando você é capaz de imitar a natureza tão de perto.

Suficientemente direito sobre a natureza, tempo para falar sobre como os fractais têm dimensões loucas.

Dimensões

Então agora nós sabemos o que são formas fractais e como fazê-las, nós gostaríamos de saber algumas coisas sobre elas. Uma das primeiras coisas a tentar descobrir é o comprimento de algumas dessas formas. Vamos voltar à curva von Koch.

Para descobrir quanto tempo é a curva von Koch completa (depois de ser iterada uma quantidade infinita de vezes), é útil considerar o que acontece no primeiro estágio novamente:

A linha é dividida em três, então a seção do meio é substituída por duas linhas que são tão longas quanto ela (pois é um triângulo igual). Então se a linha reta original tinha um comprimento de 1, o comprimento da curva após a primeira iteração é 4/3. Acontece que cada vez que você itera a forma, ela fica 4/3 mais longa. Então o comprimento da curva após a segunda iteração é 4/3 x 4/3 = 16/9:

As 4/3 é maior que 1, a linha fica mais longa cada vez que é iterada através da função. Como você itera a função uma quantidade infinita de vezes, a curva von Koch completa tem um perímetro que é infinitamente longo! Este é o caso de todas as formas fractais: elas têm perímetros infinitamente longos. Isso não é útil para os matemáticos, por isso eles não medem o perímetro da forma. Agora os próximos parágrafos requerem um pouco de reflexão abstrata, mas se você pensar um pouco fora da caixa faz sentido.

O perímetro mede o comprimento em torno de algo. O comprimento é uma medida de 1 dimensão de espaço. O comprimento é 1D porque ele mede apenas uma linha reta. Uma medida 2D do espaço é área, 3D é volume. Agora mostramos que não é útil medir padrões fractais em 1 dimensão porque eles são infinitamente longos, mas o que é estranho é que formas fractais não são 1D, 2D, ou 3D. Cada forma fractal tem a sua própria dimensão única, que normalmente é um número com uma casa decimal.

A dimensão de uma forma fractal é uma medida de quão rapidamente a forma se torna complicada quando se está a iterá-la. O que queremos dizer com “complicar”? Bem na curva von Koch você pode ver que as primeiras iterações produzem formas bastante simples, no entanto, na iteração 4 ela começa a se tornar bastante pequena e complexa.

A maneira de medir o quão rápido uma forma se torna complicada, e portanto sua dimensão, é medir quanto mais tempo o perímetro fica após cada iteração. Isto faz sentido intuitivamente, como se a linha se tornasse muito mais longa após cada iteração, provavelmente está se tornando muito complicada muito rapidamente, enquanto que se a linha se mantiver praticamente o mesmo comprimento após cada iteração, então provavelmente não está ficando muito complexa.

Como já mostramos, a curva von Koch se torna 4/3 mais longa a cada iteração. Isto significa que a curva de von Koch é 4/3 D, ou 1.3333…D. Bastante louco, certo? Ela existe algures entre 1D e 2D. Mas esta medida é realmente útil para os matemáticos, pois dá informações sobre a forma (enquanto o perímetro não o faz, é sempre infinito). Por exemplo, se houvesse outra forma fractal que fosse 1.93D, você poderia dizer com confiança que essa forma se torna complexa mais rapidamente do que a curva von Koch, já que o perímetro fica 1.93 vezes mais longo após cada iteração ao invés de 1.3333, implicando que ela se torna complexa mais rapidamente. Ao estudar uma forma fractal, saber a sua dimensão é de importância integral.

Randomness

A última coisa de que vou falar é do facto de que a aleatoriedade pode ser inserida em formas fractais. Eventos aleatórios (ou aparentemente aleatórios) ocorrem na natureza o tempo todo e afetam diferentes coisas de diversas maneiras, por exemplo, uma grande parte da Engenharia da Informação está lidando com ruído, que flutua aleatoriamente um sinal eletrônico. Quando se tenta replicar isto, normalmente adiciona-se aleatoriedade em cima de um sinal. Por exemplo, em eletrônica você criaria uma bela onda senoidal e então adicionaria ruído em cima dela (emprestado deste website):

A imagem inferior é a onda ‘pura’, e a imagem superior é a onda com o ruído adicionado. Uma suposição inerente quando se faz isto é que existe um sinal ‘puro’ subjacente que é aleatoriamente alterado. Embora isto possa ser verdade para muitos componentes eletrônicos, o mesmo não pode ser dito para a natureza. Muitas vezes não existe uma forma ‘pura’ que é alterada aleatoriamente em torno das bordas (por exemplo, não existem muitos quadrados difusos na natureza), mas sim efeitos de aleatoriedade na estrutura da própria forma em cada fase da sua evolução. A geometria clássica não é boa para incorporar a aleatoriedade nas formas, enquanto que a geometria fractal pode fazê-lo facilmente. Pela última vez vamos voltar para a curva de von Koch. Contudo desta vez vamos inserir aleatoriedade nela.

Sabemos que a regra é que para cada iteração um triângulo é criado no terço médio de uma linha. No entanto, cada vez que os triângulos estão sempre virados para fora. Poderíamos inserir aleatoriedade dizendo que para cada triângulo criado, ele vai acima da linha ou abaixo da linha dependendo de um lançamento de moeda:

Agora a forma se desenvolverá aleatoriamente de acordo com o lançamento de moeda. Por exemplo, após várias iterações, a curva von Koch pode parecer assim:

Or pode parecer completamente diferente. O que é legal sobre isso é que você pode inserir aleatoriedade na própria forma ao invés de adicioná-la em cima de uma forma existente. Isto tem um potencial excitante, por exemplo (voltando à natureza) esta pode ser uma boa maneira de modelar mutações genéticas aleatórias.