Fractais

Primeiro, vamos começar pela propriedade dos fractais que observamos na couve-flor Romanesco.

Propriedade: A auto-similaridade é a propriedade que o zoom num objecto produz um padrão repetitivo sem fim.

Outros exemplos de auto-similaridade na natureza são os padrões repetidos de água cristalizada e flocos de neve.

“Frost patterns 2” por Schnobby (Licenciado sob CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Como descrevemos estes padrões auto-similares e como geramos matematicamente formas auto-similares que são reproduzíveis a qualquer ampliação? Já vimos padrões fractais em flocos de neve, então vamos começar por gerar um padrão auto-similar parecido com um floco de neve.

Koch Snowflake

Começando com um triângulo equilátero, crie um triângulo equilátero usando o terço médio de cada lado como base, e depois remova a base do triângulo. Agora, repita este processo para cada segmento de linha na figura resultante. Aqui estão as primeiras iterações:

Continuando este processo dá o floco de neve de Koch no limite. Aqui está um close-up da borda após múltiplas iterações:

Desde que o zoom no floco de neve de Koch dá uma curva que é uma cópia de si mesma em uma escala menor (chamada curva de Koch), o floco de neve de Koch exibe auto-similaridade.

Se o triângulo equilátero com que começamos tiver comprimento lateral 1, então note que ao substituir cada segmento de linha por 444 segmentos de um terço do comprimento, multiplicamos o comprimento por 43 \frac{4}{3}. 34 em cada passo. Isto mostra que após nnn passos, o comprimento do perímetro é 3⋅(43)n 3 \cdot ^n3⋅(34)n, portanto a estrela Koch tem perímetro infinito se medida como uma curva unidimensional.

No entanto, como veremos mais tarde, isto surge porque o floco de neve de Koch deve ser pensado como tendo mais de 1 dimensão e tentar medir uma forma na dimensão errada dá uma resposta sem sentido. Isto é semelhante a tentar medir a quantidade de um fio muito fino necessário para cobrir um quadrado bidimensional. Precisaríamos de um fio infinitamente longo, já que estamos tentando medir um objeto bidimensional com uma curva unidimensional.

O floco de neve Koch mostra que mesmo que os fractais sejam complexos, eles podem ser gerados pela aplicação repetida de regras simples. Podemos pensar no triângulo inicial do floco de neve Koch como o iniciador e o passo de substituição de cada linha por um pico como o gerador. Se em vez disso começarmos com um segmento de linha como iniciador e usarmos o seguinte gerador, obtemos um padrão diferente.

Estes exemplos demonstram as seguintes propriedades dos fractais.

Os fractais têm detalhes a escalas arbitrariamente pequenas e exibem irregularidade que não pode ser descrita pela linguagem geométrica tradicional.

Em outras palavras, os fractais são objectos que, a qualquer ampliação, nunca “alisam” para se parecerem com o espaço Euclidiano.

Gaxeta Sierpinski

A gaxeta Sierpinski é um triângulo feito de cópias menores de si mesmo. Começando com um triângulo preenchido, conecte os pontos médios de cada um dos lados, remova o triângulo médio e itere sobre os três triângulos preenchidos restantes.

Se começarmos com um triângulo com comprimento de lado 111, qual é a área da junta Sierpinski (o espaço colorido por preto) no nnnth step? Observe que o número de triângulos pretos no degrau nnnth é 3n3^n3n e o comprimento do lado de um triângulo no degrau nnnth é (12)n\i n\i esquerdo( \frac{1}{2} \i}direito)^n(21)n. Então a área do espaço negro no nono degrau é 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n ^n ^cdot ^esquerda( \frac{1}{2} ^n ^n ^cdot ^esquerda( {1}frac{2} {2} ^n 3n⋅(21)n⋅(21)n vezes a área do triângulo original, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3 ^n ^cdot ^esquerda( ^frac{1}{2}{2}direita)^{2n} \cdotfrac{sqrt{3}{4} =esquerda( {3}frac{4}{4}{4}direita)^n ^cdot ^frac{sqrt{3}{4} =frac{1}{3} \Esquerda( 3ªFrac{4}{4}direita)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Esta aproxima-se de 0 como nnn vai para o infinito. Como com o floco de neve Koch, a junta Sierpinski deve ser pensada como tendo uma dimensão inferior a 2, e medi-la na dimensão errada dá uma resposta sem sentido.