Factoring higher-graus polinomiais

plotar os zeros reais do polinômio dado no gráfico abaixo e eles nos dão P de X é igual a 2x para o quinto mais X para o quarto menos 2x menos um quando eles dizem plotted eles nos dão este pequeno widget aqui onde se nós clicarmos em qualquer ponto nisto nós obtemos o nosso ponto e nós obtemos quantos pontos nós gostaríamos e nós podemos arrastar estes pontos ao redor ou se não queremos mais estes pontos, podemos simplesmente despejá-los neste pequeno caixote do lixo no fundo à direita, então vamos pensar no que os zeros deste polinômio estão realmente a fazer para que eu tire o meu bloco de rascunho e isto é um pouco assustador no início isto é um polinômio de quinto grau isto é um polinômio de quinto grau aqui fatorar polinômios de quinto grau é realmente algo arte que você realmente vai ter que sentar e procurar por padrões se eles estão realmente esperando que você encontre os zeros aqui sem a ajuda de um computador sem a ajuda de uma calculadora então deve haver algum tipo de padrão que você pode escolher aqui, então deixe-me apenas reescrever P de X para que P de X seja igual a 2x para o quinto mais X para o quarto menos 2x menos um e uma maneira que é tipicamente visto quando você está tentando fatorar este tipo de polinômio é tentar essencialmente desfazer a propriedade distributiva algumas vezes e se você quiser relacioná-la com técnicas de factoring quadrático é essencialmente factoring agrupando assim por exemplo você vê um 2x você vê um 2x menos 1 ou algo que parece um 2x menos 1 bem aqui e aqui você tem um 2x para o quinto mais X ao quarto, então você tem 2x de um termo de grau mais alto mais 1 X de um grau mais baixo, então parece haver algum tipo de padrão 2 vezes X de um grau mais alto, este é o termo de primeiro grau menos 1 vezes que você poderia ver isso como X ao 0 de um termo de grau mais baixo e então vamos pensar um pouco sobre isso o que acontece se nós essencialmente tentarmos agrupar esses dois termos e agrupamos estes dois termos aqui mesmo e tentamos fazer qualquer coisa para essencialmente limpá-lo um pouco para ver se conseguimos entender bem estes dois termos o maior fator comum é X para 4 poderíamos escrever isto como X para a quarta vez 2x mais 1 e isto deve nos deixar excitados porque isto parece muito próximo disso, especialmente se tivéssemos que fazer um fator negativo 1 aqui para que nós pudéssemos fatorar 1 negativo e então isto vai ser 2x mais 1 e é excitante porque agora nós podemos fatorar 2x mais 1 de cada um destes termos para que você tenha 2x mais 1 nós vamos fatorar ambos nós vamos fatorar ambos para obter 2x mais 1 que nós acabamos de fatorar e se você fatorar para fora deste termo logo acima este termo aqui mesmo você fica com X até o quarto e você fator este termo você fica com apenas o menos 1 menos 1 e agora isto é emocionante porque isto é muito para X mais 1 isto é muito fácil de descobrir quando esta coisa é igual a 0 e nós faremos isto em um pouco e isto é muito fácil de fator isto é uma diferença de quadrados isto aqui mesmo pode ser re-escrito como pode ser re-escritoescrito como x ao quadrado mais 1 vezes x ao quadrado menos 1 vezes x ao quadrado menos 1 e claro que ainda temos esta 2x mais 1 na frente 2x mais 1 e mais uma vez temos outra diferença de quadrados temos outra diferença de quadrados aqui mesmo que é a mesma coisa que X mais 1 vezes X menos 1 e deixe-me apenas escrever todas as outras partes desta expressão x ao quadrado mais 1 e você tem 2x mais 1 2x mais 1 e eu acho que eu fatorei P de X tanto quanto poderia ser razoavelmente, exceto razoavelmente esperado, então P de X é igual a todo esse negócio aqui lembre-se de toda a razão pela qual eu queria fatorar é que eu queria descobrir quando desistir de igual 0, então se P de X pode ser expresso como o produto de um monte dessas expressões, vai ser 0 sempre que em pelo menos uma destas expressões é igual a 0 se alguma delas for igual a 0 então isso vai fazer com que toda esta expressão seja igual a 0 então quando 2x mais 1 é igual a 0 então 2x mais 1 é igual a zero bem você provavelmente poderia fazer isto na sua cabeça o que nós fazemos podemos fazer isto sistematicamente subtrair uma de ambos os lados você recebe dois x é igual a um negativo divide ambos os lados por 2 você obtém X é igual a negativo 1/2 então quando x é igual a negativo 1/2 ou você uma maneira de pensar sobre P de negativo 1/2 é 0 então P de negativo 1/2 é 0 então este aqui é um ponto no gráfico e é um dos zeros reais agora nós poderíamos tentar resolver este x ao quadrado mais 1 é igual a 0 Eu vou apenas anotar para mostrar se tentarmos isolar o termo X na subtração à esquerda 1 de ambos os lados você recebe x ao quadrado é igual a 1 negativo agora se nós formos se nós começarmos a pensar em números imaginários nós poderíamos pensar sobre o que X poderia ser mas eles querem que nós encontremos os zeros reais os zeros reais então não há número real onde esse número ao quadrado é igual a 1 negativo então nós não vamos obter nenhum zeros definindo este zeros reais definindo este coisa igual a 0 no real pois não há número real x onde x ao quadrado mais 1 vai ser igual a 0 agora vamos pensar em quando X mais 1 pode ser igual a 0 vamos subtrair 1 de ambos os lados você obtém X é igual a 1 negativo então P de 1 negativo vai ser 0 então esse é outro dos nossos zeros bem ali e então finalmente temos que pensar em quando X menos 1 é igual a 0 bem adicionar 1 a ambos os lados X é igual a 1 então nós temos outro 0 nós temos outro 0 real bem ali e então nós poderíamos plotá-los deixe-me então é negativo 1 negativo 1/2 e 1 então é negativo 1 negativo 1/2 e 1 e nós podemos verificar nossa resposta e nós temos agora mesmo uma coisa que pode estar dizendo que você sabe que você está incomodando você é como hey você sabe Sal você simplesmente acontece com o grupo E se eu tentar agrupar de uma maneira diferente, e se eu tentar e na verdade vamos tentar fazer isso que pode ser interessante só para mostrar que isso não é vodu e na verdade há várias maneiras de chegar lá, há várias maneiras de chegar lá, e se ao invés de escrever assim, estamos escrevendo um pouco no alto.grau então o próximo grau mais alto e assim por diante você deveria escrever assim P de X é igual a 2 X para o quinto menos 2x mais X para o quarto menos 1 bem na verdade mesmo assim você poderia fazer um agrupamento bastante interessante se você agrupar estes dois juntos você vê que eles têm o fator comum 2x você fator 2x você obtém 2x vezes X para o quarto menos 1 e eu acho que você vê o que está acontecendo e então isto pode ser re-escrito como mais 1 vezes X ao 4º meu X ao 4º meu X ao 4º menos 1 menos 1 e agora você poderia fatorar um X ao 4º menos 1 e você fica com apenas numa cor neutra X ao 4º menos 1 vezes 2x mais 1 o que é muito mais fácil fatorar agora a diferença de quadrados exatamente o que fizemos da última vez, então há várias maneiras de você ter razoavelmente agrupado isso e razoavelmente desfeito o distributivo mas admito que é uma arte que você realmente só tem que brincar e ver vamos agrupar os dois primeiros termos vamos ver se há um fator comum aqui vamos agrupar os dois segundos termos vamos ver se há um fator comum aqui ei, uma vez que nós agrupamos esses fatores comuns, parece que ambos os termos têm essa expressão comum como um fator e então você pode começar a considerar isso