O desvio médio absoluto de um conjunto {x1, x2, …, xn} é
1 n ∑ i = 1 n | x i – m ( X ) | . |displaystyle {\i} |frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.}
A escolha da medida da tendência central, m ( X ) m(X)}displaystyle m(X)}
, tem um efeito acentuado no valor do desvio médio. Por exemplo, para o conjunto de dados {2, 2, 2, 3, 4, 14}:
| Medida da tendência central m ( X ) {\\i1}displaystyle m(X)}
|
Desvio absoluto médio |
|---|---|
| Mean = 5 | | 2 – 5 | + | 2 – 5 | + | 3 – 5 | + | 4 – 5 | + | 14 – 5 | 5 = 3.6 {\a10} {\a10} {\a10} {\a10} {\a10} {\a10} {\a10} {\a10}=3.6}
 |
| Median = 3 | | 2 – 3 | + | 2 – 3 | + | 3 – 3 | + | 4 – 3 | + | 14 – 3 | 5 = 2.8 {\frac {\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3||+|4-3|+|14-3|}{5}}=2.8}
 |
| Modo = 2 | | 2 – 2 | + | 2 – 2 | + | + | 3 – 2 | + | + | 4 – 2 | + | 14 – 2 | 5 = 3.0 {\frac {\frac {|2-2|+|2-2|+||3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3.0}
 |
O desvio médio absoluto da mediana é menor ou igual ao desvio médio absoluto da média. Na verdade, o desvio médio absoluto da mediana é sempre menor ou igual ao desvio médio absoluto de qualquer outro número fixo. \esquerda}
,onde φ é uma função convexa, isto implica para Y = | X – μ | | {\displaystyle Y=\vert X-\mu |vert }
isso: E ( | X – μ | ) 2 ≤ E ( | X – μ | 2 ) {\i1}displaystyle \i}mathbb {E} \esquerda (X-x- mu) direita (2) \Esquerda(X-x- mu) ^{2}{direita)^
E ( | X – μ | ) 2 ≤ Var ( X ) {\i1}displaystyle {\i}mathbb {E} \esquerda(X-x- mu) direita (X)}
Desde que ambos os lados sejam positivos, e a raiz quadrada seja uma função monotonicamente crescente no domínio positivo:
E ( | X – μ | ) ≤ Var ( X ) {\i1}displaystyle \i}mathbb {E} \esquerda (X-x-x-direita) (X)}}}
Para um caso geral desta afirmação, ver desigualdade de Hölder.
>
Para a distribuição normal, a razão do desvio médio absoluto para o desvio padrão é 2 / π = 0,79788456 … {\i} {\i}=0,79788456 {\i}
. Assim, se X é uma variável aleatória normalmente distribuída com valor esperado 0 então, ver Geary (1935): w = E | X | E ( X 2 ) = 2 π . w={\frac {E|X|}{\sqrt {E(X^{2}}}}={\sqrt {\sqrt {\sfrac {\pi }}}.}
Por outras palavras, para uma distribuição normal, o desvio médio absoluto é cerca de 0,8 vezes o desvio padrão. No entanto, as medidas da amostra fornecem valores da razão do desvio médio / desvio padrão para uma determinada amostra gaussiana n com os seguintes limites: w n ∈ {\displaystyle w_{n}in }
, com um viés para pequenos n.
Desvio médio absoluto em torno da médiaEditar
O desvio médio absoluto (DMA), também chamado de “desvio médio” ou às vezes de “desvio médio absoluto”, é a média dos desvios absolutos dos dados em torno da média dos dados: a distância média (absoluta) em relação à média. O “desvio médio absoluto” pode se referir a esta utilização, ou à forma geral com respeito a um ponto central especificado (ver acima).
MAD foi proposto para ser usado no lugar do desvio padrão, uma vez que corresponde melhor à vida real. Como o DMA é uma medida de variabilidade mais simples do que o desvio padrão, ele pode ser útil no ensino escolar.
A precisão da previsão deste método está muito relacionada ao método do erro quadrático médio (MSE), que é apenas o erro quadrático médio das previsões. Embora estes métodos estejam intimamente relacionados, o MAD é mais comumente usado porque é mais fácil de calcular (evitando a necessidade do quadrado) e mais fácil de entender.
Desvio médio absoluto em torno da medianaEditar
Desvio médio absoluto em torno da mediana (mediana da DMA) oferece uma medida directa da escala de uma variável aleatória em torno da sua mediana
D med = E | X – mediana | | {\displaystyle D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}}
Este é o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro da escala b {\i1}
da distribuição Laplace. Para a distribuição normal temos D mean = σ 2 / π ≈ 0.797884 σ {\displaystyle D_{\text{\mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}}approx 0.797884 {\displaystyle D_{\displaystyle }}
. Uma vez que a mediana minimiza a distância média absoluta, temos D med ≤ D médio D_text D_text D_text D_text
e D med = erf – 1 ( 1 / 2 ) σ ≈ 0.67449 σ {\displaystyle D_{\text{\med}}===operatorname {\erf} Aproximadamente 0,67449sigma…
.
Usando a função de dispersão geral, Habib (2011) definiu MAD sobre mediana como
D med = E | X – mediana | = 2 Cov ( X , I O ) {\displaystyle D_{\text{\med}}=E|X-{\text{\median}}=2\operatorname {Cov} (X,I_{\O})}
