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En la época de los antiguos griegos y romanos, la tierra era considerada el centro del universo, que era a su vez una esfera que contenía todas las estrellas. Esta esfera celeste giraba de este a oeste, llevando no sólo las estrellas sino también el sol y los planetas. Por lo tanto, el sol giraba alrededor de la tierra. Esto es lo que causó el día y la noche. La Tierra no giraba. Para entender los relojes de sol, es perfectamente aceptable y conveniente adoptar este punto de vista geocéntrico. El sol no viajaba alrededor de la tierra en un círculo en ángulo recto con respecto al eje de la tierra (que también era el eje de la esfera celeste) como lo hacían las estrellas. Más bien, el sol trazaba un círculo a lo largo de la esfera celeste, centrado en la tierra, conocido como la eclíptica.

El plano de la eclíptica se encuentra con el plano ecuatorial aproximadamente a 23,5°. Esto se conoce como la oblicuidad de la eclíptica. El círculo de la eclíptica cruza más o menos las doce constelaciones del zodiaco, y la época del año (correspondiente a los meses modernos) se calculaba según el signo del zodiaco que atravesaba el sol. (Independientemente de la ubicación exacta de las constelaciones del zodiaco, la eclíptica se dividía en 12 arcos iguales de 30° cada uno, lo que dejaba a la mayoría de las constelaciones descentradas y, a menudo, no completamente en su región designada de 30°). El movimiento del sol a lo largo del círculo de la eclíptica dura un año (solar). El doble movimiento del sol (en la esfera celeste y a lo largo de la eclíptica) significa que el sol sigue una trayectoria diferente en el cielo cada día. Desde la perspectiva del hemisferio norte, durante el verano, el sol está más alto en el cielo y permanece visible durante más tiempo. Como los antiguos siempre dividían la luz del día en doce horas iguales, estas horas de verano eran más largas. En los meses de invierno, el sol está más bajo en el cielo y es visible durante menos tiempo. En consecuencia, las horas de invierno también eran más cortas.
El tiempo en el mundo antiguo se medía en primer lugar por acontecimientos naturales, como la salida y la puesta del sol y la hora de las comidas :-

En las primeras épocas de Roma, e incluso hasta mediados del siglo V después de la fundación de la ciudad, no se conocían más divisiones del día que la salida, la puesta del sol y el mediodía, que estaban marcados por la llegada del Sol entre la Rostra y un lugar llamado Graecostasis.

La mayor fuente literaria que existe sobre los relojes de sol de Grecia y Roma son los Diez Libros de Arquitectura de Vitruvio, escritos hacia el año 25 a.C. En el Libro 9, Vitruvio da una lista de una variedad de relojes y sus inventores:-

Se dice que Beroso el caldeo inventó el semicircular tallado en un bloque cuadrado y rebajado para seguir la inclinación de la tierra. La semiesfera, o scaphê, se atribuye a Aristarco de Samos, y también inventó el disco sobre un plano. La araña fue inventada por el astrónomo Eudoxo; algunos dicen que por Apolonio. El zócalo o cofre, del que hay un ejemplo en el Circo de Flaminio, fue inventado por Escopinas de Siracusa; Parmenión inventó el «Reloj de sol para examinar»; Teodosio y Andrias el reloj de sol «Para cada clima», Patrocles el hacha, Dionisodoro el cono, Apolonio el carcaj. Los hombres nombrados aquí inventaron otros tipos, y muchos otros nos han dejado aún otros tipos, como el Cono Araña, el Zócalo Hueco y el Antibóreo («Opuesto al Norte»). Muchos, además, han dejado instrucciones escritas para hacer versiones portátiles y colgantes de estos tipos. Cualquiera que lo desee puede encontrar información adicional en sus libros, siempre y cuando sepa cómo montar un analema.

El analema de Vitruvio es el sistema de líneas y curvas que denotan el cambio de horas y meses en la esfera de un reloj de sol. Su capítulo anterior está dedicado a determinar el analema basándose en la observación de la sombra de un gnomon al mediodía del equinoccio. (El gnomon era el palo vertical que proyectaba su sombra sobre la esfera del reloj. Dependiendo del diseño de la esfera, se utilizaba el lado de la longitud de la sombra o la posición de la punta de la sombra para determinar la hora). Desgraciadamente, Vitruvio termina su discusión sobre los relojes de sol con la lista dada anteriormente y escribe sobre los relojes de agua durante el resto del Libro 9.
Antes de que los griegos desarrollaran el reloj de sol en las formas que Vitruvio enumera, las civilizaciones más antiguas de Egipto y Mesopotamia tenían dispositivos de medición de la sombra ya en el año 1500 a. C.C. Aunque ésta es la fecha de los primeros relojes de sol que se conservan :-

… es posible que los relojes de sol se inventaran ya en el tercer milenio, cuando los sacerdotes egipcios empezaron a dividir la noche y el día en doce partes iguales.

Un texto funerario del año 1290 a.C., referido a eventos astronómicos del siglo XIX a.C., da instrucciones sobre cómo construir un «palo de sombra».

Este reloj de sombra consistía en una base con un palo vertical en un extremo. Debido al desplazamiento angular de la sombra a lo largo del día, se ha especulado que al palo vertical se le añadía un travesaño para ensanchar la sombra y que ésta cayera siempre sobre el reloj. Ni el texto funerario ni los ejemplos que han sobrevivido tienen el travesaño, aunque un espécimen tiene agujeros a ambos lados de su montante que pueden sugerir tal adición.
En la práctica, el reloj de sombra necesitaba ser girado una vez al día al mediodía para poder marcar la hora tanto por la mañana como por la tarde :-

Con la cabeza hacia el este se marcan 4 horas mediante la disminución de la longitud de la sombra, después de lo cual el instrumento se invierte con la cabeza hacia el oeste para marcar 4 horas de la tarde.

Se dice que dos horas ocurrieron antes de que el sol tocara el reloj por la mañana, y otras dos horas pasaron después de que el sol dejara el reloj pero antes de que comenzara la noche. Se supone que el crepúsculo de la mañana antes de la salida del sol se contó como una hora, y que pasó otra hora entre la salida del sol y el momento en que el montante proyectó una sombra observable en el reloj. (La sombra al amanecer tendría una longitud infinita, por lo que sería inútil para marcar la hora). De la misma manera, al anochecer pasaron dos horas. Las marcas en el reloj que indicaban las cuatro horas eran muy inexactas, y posiblemente no se basaban en la observación sino en alguna falacia de la geometría celeste.
Los relojes de sol parecidos al tipo del que habla Vitruvio se utilizaban en Egipto desde al menos el año 1200 a.C. Eran relojes de sol verticales colgantes, de forma semicircular con un gnomon horizontal en la parte superior y en el centro. «La sombra barría alrededor de un dial de este tipo más rápidamente al principio de la mañana y al final de la tarde que al mediodía, pero los egipcios simplemente dividían el dial en 12 sectores de 15° u «horas». Este es quizás el orden más burdo del uso del gnomon y proporciona poco interés teórico o empírico para los griegos.» Parece que el desarrollo egipcio en materia de cronometraje decayó hasta la invasión asiria en el siglo VII a.C.
En Kantara, Egipto, se encontró un reloj de sol casi completo que data aproximadamente del año 320 a.C., mucho más de mil años después de que los relojes de sombra estuvieran en funcionamiento :-

El gnomon era un bloque perpendicular que se elevaba al pie de la cara inclinada, siendo su altura y su anchura las mismas que las de esta última. En uno de sus lados había una disposición que permitía colgar una plomada para que se balanceara libre de la base. El instrumento se colocaba sobre una superficie plana y, cuando se iba a utilizar, se giraba de manera que quedara orientado directamente hacia el sol. La sombra del gnomon caía entonces sobre la cara. Los espacios marcados por las líneas paralelas que iban de arriba a abajo de la esfera mostraban dónde debía leerse la sombra durante los diferentes meses del año, empezando por el solsticio de verano en un borde y volviendo a girar con el solsticio de invierno en el otro.

A lo largo de la esfera había un conjunto de líneas trazadas oblicuamente en pendiente desde el borde del solsticio de invierno hasta el borde del solsticio de verano.

A las seis de la mañana, la sombra llegaba a la parte superior de la esfera; a medida que el sol subía, la sombra disminuía en longitud hasta que al mediodía tocaba la línea más baja; llegaba de nuevo a la parte superior de la esfera a las seis de la tarde.

Este reloj de sol y otros de diseño similar que se conservan en la actualidad no son terriblemente precisos :-

Se habrían necesitado ciertas modificaciones para indicar la hora correcta. Parte de esta inexactitud puede deberse a que son representaciones de instrumentos más grandes o más precisos, aunque los diales de este tipo debían ser lo suficientemente pequeños como para manejarlos o bien debían tener algún tipo de disposición que permitiera girarlos fácilmente.

En el mundo griego, los primeros relojes de sol «consistían en un gnomon en forma de poste vertical o clavija colocada en una superficie plana, sobre la cual la sombra del gnomon servía para indicar la hora». Esto se opone a los diseños modernos que tienen su gnomon inclinado en paralelo al eje de la tierra. En este sistema moderno, las líneas de la esfera que indican las horas parten de un punto central y permanecen rectas. Es la sombra del borde del gnomon sobre estas líneas la que da la hora. Las variaciones estacionales son prácticamente irrelevantes :-

En las antiguas esferas con gnomon vertical, la dirección de la sombra en cualquier momento del día variaba con las estaciones. Por lo tanto, la posición de la punta de la sombra era esencial para la determinación de la hora. La punta de la sombra trazaba una curva en el plano de la esfera a medida que el sol se movía, una curva que cambiaba de verano a invierno.

Las curvas trazadas en la esfera de tal reloj de sol pueden haber conducido al descubrimiento de las secciones cónicas, tal como se atribuye a Menaechmus en el siglo IV a.C.

El sol traza una trayectoria circular en el cielo en su movimiento diario. La punta del gnomon es el vértice de un cono con los rayos del sol como elementos, y como el plano de la esfera corta el cono, la trayectoria de la sombra es una sección cónica. Si Menaechmus u otra persona marcara esta trayectoria con una serie de puntos en un día determinado, «descubriría» una hipérbola.

Hay que tener en cuenta que las curvas solsticiales sólo son hipérbolas entre los círculos ártico y antártico. La curva equinoccial es una línea en todas las latitudes excepto en los polos. Las líneas solsticiales en los círculos ártico y antártico serían parábolas y dentro de los círculos, serían elipses. La elipse es fácil de ver ya que durante el día ártico, el sol hace su circuito completo sobre el horizonte, y por lo tanto la sombra de un gnomon trazaría la sección cónica cerrada.

Las trayectorias de la punta de la sombra del gnomon trazadas en estos relojes de sol horizontales formaban un patrón parecido a un hacha llamado pelekinon (derivado de la palabra griega para hacha).

El patrón consistía en una hipérbola que trazaba la trayectoria de la sombra en el solsticio de invierno, una segunda para el solsticio de verano, y una línea recta este-oeste en medio que marcaba las sombras equinocciales. Una línea que partía de la base del gnomon en el sur de la esfera y se dirigía hacia el norte indicaba la hora del mediodía. (Como la sombra de la punta del gnomon era el dispositivo de indicación de la hora, el gnomon podía estar inclinado. El ángulo del gnomon es irrelevante. En un dial de este tipo, la línea del mediodía iría desde la base de una línea perpendicular entre la punta del gnomon y la superficie del dial). Las hipérbolas estaban centradas en esta línea del mediodía. La hipérbola de invierno se abría hacia el norte, la de verano hacia el sur (suponiendo que la esfera estuviera en el hemisferio norte). Además de la línea central del mediodía, se añadían líneas oblicuas a ambos lados para indicar las horas de luz antes y después del mediodía:-

Es obvio, a partir de los ejemplos conservados de esferas horizontales, que las líneas rectas que conectan los puntos horarios en el solsticio de verano, el equinoccio y el solsticio de invierno servían para aproximar estas líneas horarias en la antigüedad grecorromana.

Además:-

… las curvas del día solsticial en casi todas las esferas horizontales conservadas han sido aproximadas por líneas discontinuas que conectan los puntos horarios. Esto parece indicar que el relojero localizaba estos puntos horarios en la cara de la esfera antes de grabar las curvas diurnas.

Aún se discute si algunos, si no todos, los relojes de sol de este tipo fueron dibujados por observación o por cálculo. Existen pruebas que sugieren que se utilizaban métodos de proyección para determinar los puntos horarios :-

Tanto Vitruvio como Ptolomeo describen analemas que para determinadas posiciones solares sirven para determinar la longitud y la dirección de la sombra proyectada por un gnomon en la cara de un reloj de sol plano.

Específicamente, en su libro ‘Sobre el Analema’, Ptolomeo da métodos para derivar, tanto por medios trigonométricos como gráficos, tres pares de coordenadas esféricas para el sol en relación con un lugar dado en la tierra, dada la declinación solar, la latitud terrestre y la hora del día. Aunque no lo dice explícitamente, cada par de coordenadas esféricas es singularmente adecuado para encontrar la longitud y dirección de la sombra de un gnomon para un tipo de reloj de sol plano.

Para complicar las cosas, las especificaciones exactas de la red de curvas de un reloj de sol variaban con la latitud del reloj. Si se utilizaban medios matemáticos para crear el patrón de un reloj de sol, cabría esperar que se tuviera en cuenta la latitud prevista. Sin embargo, se han encontrado relojes de sol en latitudes que varían hasta 7 grados de latitud (una distancia de más de 700 kilómetros). El caso más significativo de tal discrepancia fue el reloj de sol que fue el primer reloj oficial de Roma. Los romanos capturaron un reloj de sol durante una guerra en Sicilia en el año 264 a.C. A pesar de la diferencia de unos 4 grados de latitud, el reloj de sol sirvió a Roma durante casi cien años antes de que se estableciera una nueva esfera calibrada para la ciudad. Esto fue así a pesar de que la hora estaba en un error observable :-

Aunque la sombra de un palo en el suelo parece ser la forma más simple de cronometrador, el dial horizontal es más complejo de marcar en los espacios de las horas para el sistema horario temporal que los diales de sección esférica o cónica … ya que se necesita una comprensión básica de los orígenes de las trayectorias de la sombra hiperbólica en la superficie plana con el fin de adaptar la figura geométrica necesaria para hacerlo.

La figura geométrica es el analema del que hablaba Vitruvio anteriormente. El analema es la:-

… proyección de la esfera celeste en un plano, del que a su vez se deducían las posiciones de las horas en la superficie de la esfera. Vitruvio describe la figura básica … aunque su texto en este punto es algo oscuro y es muy posible que no haya entendido claramente lo que estaba describiendo en cualquier caso.

Después de describir cómo se puede encontrar la línea equinoccial, así como el punto del mediodía en los solsticios, Vitruvio cierra sus reflexiones sobre el analema de la siguiente manera :-

Una vez dibujada y ejecutada esta construcción como se ha especificado, para las líneas de invierno y para las de verano, para las líneas equinocciales y para las mensuales, entonces, además, debe inscribirse el sistema de horas a lo largo de la forma del analema. A esto se pueden añadir muchas variedades y tipos de relojes de sol, y todos ellos están marcados por estos métodos inventivos. Sin embargo, el resultado de todas estas figuras y su delineación es idéntico: a saber, que el día en el equinoccio y en el solsticio de invierno, y de nuevo en el solsticio de verano, se divide igualmente en doce partes. Por lo tanto, no he optado por omitir estas cuestiones como si me disuadiera la pereza, sino para no causar molestias escribiendo demasiado… . Por lo tanto, me limitaré a contar los tipos que nos han sido transmitidos, y por quién fueron inventados.

La displicencia de Vitruvio apoya la afirmación de que no entendía del todo la adaptación del analema al reloj de sol. Y aunque afirma que cualquier reloj de sol puede construirse a partir del analema, sólo los autores posteriores dan los detalles de tales construcciones.
Aunque la construcción inicial requería un mayor esfuerzo, la facilidad con la que se podían trazar las líneas del día y de la hora hizo que los relojes de sol esféricos fueran más populares en la antigüedad que sus homólogos planos. El principio básico del reloj de sol esférico era que reflejaba la esfera celeste en la que se desplaza el sol. La construcción básica consistía en ahuecar una semiesfera (o una cuña más pequeña de una esfera) con su parte superior paralela al horizonte. Se colocaba un gnomon de manera que su punta estuviera en el centro de la semiesfera a ras del plano del horizonte. En un día cualquiera, la sombra proyectada por la punta del gnomon trazaba el arco de un círculo en la superficie de la esfera.

El arco del solsticio de verano era el más lejano hacia la parte inferior del hemisferio. A medida que las estaciones se desplazaban hacia el invierno, estos arcos se acercaban cada vez más al borde superior del hemisferio. Estos arcos diarios eran todos paralelos, y el arco del equinoccio era la mitad de un círculo con el mismo centro que el hemisferio (un gran círculo). Las líneas horarias no eran curvas circulares, a excepción de las del horizonte (que marcaban la salida y la puesta del sol) y la línea del mediodía. A pesar de su naturaleza no circular, para las latitudes inferiores a 45° las líneas horarias estacionales entre el meridiano y el horizonte se aproximan mucho a los grandes círculos que pasan por los puntos correspondientes a las horas estacionales en las curvas solsticiales y equinocciales. Las líneas horarias grabadas en los relojes de sol esféricos conservados parecen ser tales aproximaciones de grandes círculos. La desviación de las líneas horarias con respecto a los grandes círculos ni siquiera puede detectarse en los pocos diales en los que se han dividido más de tres curvas diurnas.Por lo tanto, el marcado de las líneas horarias no necesitaba ni observaciones cuidadosas ni matemáticas complicadas. Todo lo que se necesitaba era dividir el área del hemisferio que recibía la sombra del gnomon en doce partes iguales utilizando grandes círculos, de forma muy parecida a como se divide un globo moderno en líneas de longitud. Para simplificar aún más la esfera, no era necesario que las curvas de los días se correspondieran con los equinoccios o los solsticios si la única finalidad de la esfera era servir de reloj. Dos o tres arcos circulares paralelos eran todo lo que se necesitaba para facilitar la lectura (siendo las correspondientes líneas de «latitud»). Se han encontrado varios ejemplos de estas esferas en lugares como Pompeya, Herculano, Ostia y Roma. Sólo cuando la esfera iba a servir de calendario era necesario que estas líneas se correspondieran con los equinoccios y los solsticios.