後編は水時計
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古代ギリシャや古代ローマの時代、地球は宇宙の中心であり、それ自体がすべての星を含む球体であると考えられていました。 この天球は、星だけでなく、太陽や惑星も乗せて東から西へ回転していました。 そのため、太陽は地球の周りを回っていた。 これが昼と夜の原因である。 地球は自転していない。 日時計を理解する上では、この地動説を採用することは全く問題なく、便利なのです。 太陽は、星々のように地軸（天球の軸でもある）に対して直角に、地球の周りを回っているわけではありません。 
黄道面は赤道面と約23.5°の角度で交わる。 これは黄道傾斜角と呼ばれる。 黄道の円は多かれ少なかれ12星座と交差しており、太陽が何座を通過しているかで1年の時間（現代の月に相当）が計算された。 (星座の正確な位置はともかく、黄道は30度ずつの12本の円弧に分割されており、ほとんどの星座は中心を外れ、30度の範囲に収まりきらないことも多い)。 黄道に沿って太陽が動くと、（太陽）1年が経過する。 太陽は天球上と黄道上を二重に運動しているため、毎日異なる軌道をたどって空を飛んでいる。 北半球から見ると、夏は太陽が高い位置にあり、見える時間が長くなる。 古代人は日照時間を常に12等分していたため、この夏の時間が長くなった。 冬は、太陽は空の低いところにあり、見える時間が短くなる。 その結果、冬の時間も短くなった。
古代世界における時間は、まず日の出、日の入り、食事の時間など、自然に起こる出来事によって測られた：
ローマの初期、そして都市建設後の5世紀半ばに至るまで、日の出、日の入り、真昼以外に1日を区分するものは知られておらず、それらはロストラとグラエコスタシスという場所の間に太陽が到達することによって示された。
ギリシャとローマの日時計について存在する唯一最大の文献資料は、紀元前25年頃に書かれたヴィトルヴィオスの『建築に関する10冊の本』である。 半球はサモスのアリスタルコスが発明したとされ、平面上の円盤もアリスタルコスが発明した。 スパイダーは天文学者エウドクソスが発明し、アポロニウスが発明したとも言われている。 フラミニウスのサーカスに例がある台座や櫃は、シラクサのスコピナスが発明した。パルメニオンは「診察用の日時計」を、テオドシウスとアンドレアスは「あらゆる気候に対応する」日時計を、パトロクロスは斧を、ディオニュソドルスは円錐を、アポロニウスは矢を、それぞれ発明している。 ここに挙げた人々は他の種類のものを発明し、他の多くの人々は、スパイダーコーン、中空台座、アンティボレウス（「北の反対側」）など、さらに他の種類のものを私たちに残してくれたのである。 さらに、多くの人が、これらの種類の携帯用や吊り下げ用の作り方を書き残している。 ヴィトルヴィウスが提唱したアレンマとは、日時計の盤面上で時間や月の変化を表す線と曲線のシステムのことである。 彼の前章は、春分の日の正午のニノモンの影を観察して、アナレンマを決定することに費やされている。 (グノモンとは、文字盤の表面に影を落とす直立した棒のことである。 文字盤のデザインによっては、影の長さの側面か、影の先端の位置で時刻を決定した)。 残念ながら、ヴィトルヴィウスは日時計の議論を上記のリストで終わらせ、第9巻の残りの部分は水時計について書いている。
ギリシャ人が日時計をヴィトルヴィウスが挙げたような形に発展させる前に、より古い文明であるエジプトとメソポタミアでは、紀元前1500年にはすでに影の計測装置を持っていた。これは現存する最古の日時計の年代であるが、>…エジプトの神官が昼と夜をそれぞれ12等分し始めた紀元前3千年頃には、日時計が発明されていた可能性がある紀元前1290年の葬祭文書によると、…日時計が発明されたのは紀元前3千年頃であった。 紀元前1290年の葬送文書には、紀元前19世紀の天文現象に言及し、「影の棒」の作り方が書かれています。
この影絵時計は、一端に直立した棒を持つ台から成っていました。 一日のうちで影の角度が変わるため、直立した棒に横木を付けて影を広げ、常に時計に影がかかるようにしたと推測されている。
実際には、午前と午後の両方の時間を刻むために、影絵時計は1日1回正午に回転させる必要があった。朝、太陽が時計に当たるまでに2時間、太陽が時計から離れた後、夜が始まるまでにさらに2時間が経過したと言われています。 日の出前の朝の薄明を1時間と数え、日の出から直立した人が時計に観察可能な影を落とすまでにもう1時間経過していることが前提である。 (日の出時の影は無限大の長さであり、時間を示すのに役立たない）。 夕方にも同様に2時間が経過した。 ヴィトルヴィウスが語っているような日時計は、少なくとも紀元前1200年頃からエジプトで使用されていた。 「しかし、エジプト人は文字盤を単純に15°の12個のセクタ（時間）に分割していた。 これはおそらくノモンの最も粗野な使い方で、ギリシア人にとっては理論的にも経験的にもほとんど興味を引くものではなかった。 
ノモンは、傾斜した面の足元に立つ垂直のブロックで、その高さと幅は後者のものと同じであった。 片側には錘が吊るされ、台座から自由に振れるようになっていた。 この計器は平らな場所に置き、使用するときは太陽に正対するように回転させる。 そして、ノモンの影がその面にかかるようにした。 面の上下を走る平行線が示す空間は、1年の各月に影を読む場所を示しており、一方は夏至から始まり、他方は冬至で折り返す。
面に沿って、冬至から夏至に傾斜する斜めの線が一組引かれている。 この日時計をはじめ、現在残っている同様のデザインの日時計は、あまり正確ではない。 この種の文字盤は、扱えるほど小さいか、簡単に回転できるような工夫がされていたはずだが。ギリシャ世界では、初期の日時計は「平らな面に垂直な柱またはペグを立て、その上にノモンの影で時刻を示すものであった」。 これは、地軸と平行にグノモンを傾斜させた現代のデザインとは対照的である。 この方式では、文字盤上の時間を示す線は、中心点から発せられ、まっすぐなままである。 その線上にノノモンのエッジが影を落とすことで時刻を知ることができる。 季節による変化はほとんどない。古代の文字盤では、垂直なノノモンで、季節によって影の方向が異なる。 したがって、時間を決定するのに不可欠なのは、影の先端の位置であった。 このような日時計の文字盤上に描かれた曲線が、紀元前4世紀のメナケムスによる円錐曲線の発見につながったと思われる
太陽は、その日々の動きによって天空を円くなぞるように動いている。 ノモンの先端は太陽の光を要素とする円錐の頂点であり、文字盤の平面が円錐を切っているので、影の道筋は円錐曲線となるのである。 メナケムスか誰かがある日にこの経路を一連の点でマークすれば、双曲線を「発見」することになる。
注意すべきは、太陽系曲線は北極星と南極星の間の双曲線に過ぎないことである。 赤道カーブは極を除くすべての緯度で直線である。 北極圏と南極圏での太陽系線は放物線となり、円内では楕円となる。 この楕円は、北極の日中、太陽が地平線の上を一周するので見やすく、ノモンの影が閉じた円錐断面を描き出す。
これらの水平日時計でノモンの影の先端をなぞると、ペレキノン（ギリシャ語で斧に由来）と呼ばれる斧に似た模様になる。
その模様は、冬至の影の軌跡をなぞる双曲線、夏至の影の軌跡をなぞる第二曲線、その間の東西の直線が赤道直下の影を示すものである。 文字盤の南側にあるノモンの根元から真北に伸びる線が正午を示す。 (ノモンの先端の影で時間を知るため、ノモンは傾いていたかもしれない。 ノノモンの角度は関係ない。 そのような文字盤では、正午の線はノモンの先端と文字盤の表面を結ぶ垂線の根元から伸びている)。 双曲線は、この正午の線を中心にしている。 冬の双曲線は北に、夏の双曲線は南に開いていた（文字盤が北半球にあると仮定して）。 さらに、保存されているほぼすべての横長文字盤の夏至、春分、冬至の時点を結ぶ直線は、時点を結ぶ折れ線で近似されていることが明らかになった。 6276>この種の日時計が、観察によって描かれたのか、計算によって描かれたのかについては、まだ議論の余地がある。 53>ヴィトルヴィウスとプトレマイオスは、ある太陽位置について、平面日時計の文字盤上のニノモンが落とす影の長さと方向を決定するためのアナレンマについて記述している。
特に、プトレマイオスの著書『アナレンマについて』では、地球上の任意の場所、太陽赤緯、地球緯、一日の時間から、三角法および図形法による3組の太陽の球面座標を導き出す方法を述べている。 明確には言っていないが、球面座標の各対は、ある種の平面日時計のニノモンの影の長さと方向を求めるのに適している。
問題を複雑にするのは、日時計の曲線のネットワークの正確な仕様が、日時計の緯度によって異なることである。 数学的な手法で日時計の模様を作るのであれば、意図した緯度が考慮されるはずである。 しかし、日時計は緯度7度（700キロメートル以上）にも及ぶ距離で発見されている。 そのような食い違いの最も大きな例は、ローマの最初の公式時計であった日時計である。 紀元前264年、ローマ軍がシチリア島での戦いで日時計を奪取した。緯度約4度の差にもかかわらず、この日時計はローマで新しい文字盤が設置されるまでの約100年間、ローマで使用されたのである。 これは、時刻が観測可能な誤差であったにもかかわらず、である。
地面に刺した棒の影は、最も単純な形の計時装置に見えるが、水平の文字盤は、球体や円錐断面の文字盤よりも、仮時制の時間スペースに印をつけるのが複雑である…それを作るのに必要な幾何学図形に合わせるためには、平面上の双曲線の影の経路の起源に関する基礎知識が必要になるからだ
その幾何学図形がヴィトルヴィウスの語ったアナレン魔なのである。 アナレンマとは、天球を一平面上に投影し、そこから文字盤上の時間の位置を推測したものである。 ヴィトルヴィウスは基本図形を記述しているが……この時点の彼の文章はやや不明瞭で、いずれにせよ彼は自分が何を記述しているのか明確に理解していなかったかもしれない。赤道線と至陰の正午を見つける方法を記述した後、ヴィトルヴィウスはアナレンマに関する考えを次のように締めくくっている。-ヴィトルヴィウスは、日時計へのアナレンマの適用を十分に理解していなかったという主張の裏付けとなる、この切り捨て方をしたのである。
最初の製作にはより大きな労力が必要であるが、曜日と時間の線を簡単に引くことができるため、古代では球体の日時計が平面の日時計より人気があった。 球面日時計の基本原理は、太陽が移動する天球を鏡に写すことである。 基本的な作り方は、半球（または球の楔）を水平線と平行になるようにくり抜いたものである。 半球の中心が地平線と同じ高さになるように、ノモンを設置する。 
夏至の円弧は、半球の底に最も近いところにありました。 季節が冬に移るにつれて、これらの円弧は半球の上端に近づいていった。 これらの日周の弧はすべて平行で、春分の弧は半球と同じ中心を持つ円（大円）の半分である。 時間軸は、日の出と日の入りを示す水平線と正午線を除いては、円形の曲線ではなかった。 その非円形性にもかかわらず、45度以下の緯度では、子午線と地平線の間の季節時線は、太陽と赤道の曲線上の対応する季節時点を通過する大円に非常によく近似しているのである。 保存されている球面日時計に刻まれた時線は、このような大円に近似したものであるように見える。 3つ以上の日曲線を分割した数少ない文字盤では、時線の大円からのずれを検出することさえできない。したがって、時線を刻むには、注意深い観察も複雑な数学も必要ないのである。 現代の地球儀が経線に分割されているのと同じように、グノモンの影を受ける半球の面積を大円で12等分すればよいのである。 球体文字盤をさらに単純化すると、時計として機能させるだけであれば、日曲線は春分や夏至に対応する必要はない。 読みやすくするために、2つか3つの平行な円弧があればよかったのである（「緯度」の線に相当する）。 このような文字盤は、ポンペイ、ヘルクラネウム、オスティア、ローマなどの遺跡からいくつも発見されている。
この後半については、水時計
を参照してください。