ニュートンの運動第二法則

このページは微積分を勉強している大学生と高校生を対象にしています。低学年向けには、このページの情報をより簡単に説明したものをキッズページに掲載しています。高校生や中学生向けには、微積分を含まない別バージョンもあります。

アイザック・ニュートン卿は1686年に「プリンキピア・マテマティカ・フィロソフィア・ナチュラルス」で初めて運動の三法則を発表しました。彼の第2法則では、力は時間の変化に伴う運動量の変化に等しいと定義している。運動量は物体の質量mに速度Vをかけたものと定義される。

位置X0と時間t0で定義される点「0」に飛行機があると仮定する。飛行機は質量m0を持ち、速度V0で飛行している。この飛行機が外力Fを受けて、新しい位置X1、時間t1で表される点 “1 “に移動する。このとき、飛行機の質量と速度は飛行中に変化し、m1 と V1 になる。ニュートンの第二法則は、力Fの大きさがわかれば、新しい値V1とm1を決定するのに役立ちます。微積分を用いてニュートンの第二法則を記述する：

F = d (m * V) / dt

この微分方程式は、時間の関数としての力Fの変化を知っていると仮定して、上で述べた境界条件を使って解くことができる。

質量はmと等しい一定値であると仮定しましょう。この仮定は飛行機にとってかなり良いもので、質量の変化は点 “1 “と点 “0 “の間で燃やした燃料だけでしょう。燃料の重さは、飛行機の他の部分の重さに比べて小さいでしょうし、特に時間的な小さな変化だけを見れば……。もし、野球のボール球が飛ぶとしたら、確かに質量は一定である。しかし、ボトルロケットの飛行を議論するのであれば、質量は一定ではないので、積分を行うには、質量が時間によってどのように変化するかを特定しなければならない。質量が一定の場合、ニュートンの第二法則は次のようになります：

F = m * dv / dt

時間に関する速度の微分が、加速度aの定義です。この関係式は、外力を受けた物体が加速すること、および加速度の量が力の大きさに比例することを教えてくれます。また、加速度の大きさは物体の質量に反比例します。力が等しい場合、重い物体は軽い物体よりも加速度が小さくなります。運動量の方程式を考慮すると、力があると速度が変化し、同様に速度が変化すると力が発生します。この方程式は両方向に働きます。

速度、力、加速度、運動量には、大きさと方向の両方があります。科学者と数学者はこれをベクトル量と呼びます。ここで示す方程式は実際にはベクトル方程式であり、各成分方向に適用することができる。

空力、体重、推力による航空機の運動は、運動の第2法則を用いて計算することができる。しかし、空気力学的な力を扱うときに基本的な問題がある。空力は速度の2乗に依存する。そのため、微分方程式の積分は少し複雑になる。積分の詳細は、抗力を含む飛行方程式のページで紹介しています。

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