（幾何学については別の「オイラーの公式」がありますが、
このページは複素数で使われる公式についてです）
まず、有名な「オイラーの等式」：
ei + 1 = 0
こんなきれいな式が組み合わさっているなんて全く魔法のようだ、と思ったことはないだろうか？
- e（オイラー数）
- i（単位虚数）
- π（多くの興味深い分野で出てくる有名な数π）
- 1（最初の数え数）
- 0（ゼロ）
そしてまた加算、乗算、指数という基本演算もある！これは本当に不思議なことだ。
でも、もしあなたが数学を通して面白い旅をしたいのなら、それがどのようにして生まれるのかを発見することになるでしょう。 読んでみてください！
発見
1740年頃、数学者たちは虚数に興味を持っていました。
虚数は、2乗すると負の結果になります
これは通常不可能ですが（マイナスをかけるとプラスになると覚えて、いくつかの数字を2乗してみてください）、想像してみてください！これができるのです。
そして、この特別な数 (虚数を表す i と呼ばれる) を持つことができます:
i2 = -1
ある日レオンハルト・オイラーが虚数で遊んでいて (と私は思っています!) 、彼はこの有名なテイラー級数を取り出しました (これらについて読んでください)：
ex=1+x+x22!。 + x33! + x44! + x55! + …
そして彼はそれに i を入れました:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
そして、i2 = -1なので、次のように単純化されます：
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
ここで最後にすべてのi項をグループ化します:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
そしてここに奇跡があります… この二つのグループは実際にはcosとsinのテイラー級数です:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
それで単純化すると、
eix = cos x + i sin x
これを発見したとき、彼はとても嬉しかったでしょうね！
そしてこれは現在、Euler の公式と呼ばれています。
試してみましょう。
例：x = 1.1
Note: degreeではなく、 radiansを使っていることに注意してください。
答えは実数と虚数の組み合わせで、これを合わせて複素数と呼びます。
このような数を複素平面上にプロットすることができます（実数は左から右に、虚数は上から下に進みます）：
ここでは 0.45 + 0.89 i
これは e1.1i と同じです
さらにプロットしましょう！
A Circle!
そう、オイラーの公式をそのグラフに置くと円ができる：
eix は半径 1
そして半径 r を含めると、x と r の正しい値を見つけることによって、どんな点（例えば 3 + 4i）も reix 形式にすることができます。
例：数3 + 4i
3+4iをreix形式にするには、デカルトからポーラーへの変換を行います：
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (to 3 decimals)
だから 3 + 4i は 5e0.927 i
それは別の形
それは基本的に複素数の別の方法である。
これは非常に便利で、a+bi 形式よりも reix 形式を使う方が簡単な場合（乗算など）がたくさんあることがわかります。
eiπのプロット
最後に、x=πのオイラー公式を計算すると、次のようになります：
そしてここにeiπでできた点（ここで議論が始まった）があるのですが、これはどうでしょうか。
そして、ei π = -1 は次のように並べ替えることができます：
ei + 1 = 0
有名なオイラーの恒等式です。