Frattali

Primo, iniziamo con la proprietà dei frattali che abbiamo osservato nel cavolfiore romanesco.

Proprietà: L’autosimilarità è la proprietà che lo zoom di un oggetto produce un modello che si ripete all’infinito.

Un altro esempio di autosimilarità in natura sono i modelli ripetitivi dell’acqua cristallizzata e dei fiocchi di neve.

“Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Come possiamo descrivere questi modelli autosimili e come possiamo generare matematicamente forme autosimili che sono riproducibili a qualsiasi ingrandimento? Abbiamo visto i modelli frattali nei fiocchi di neve, quindi cominciamo generando un modello autosimile che assomigli ad un fiocco di neve.

Fiocco di neve di Koch

Partendo da un triangolo equilatero, create un triangolo equilatero usando il terzo medio di ogni lato come base, e poi rimuovete la base del triangolo. Ora, ripetete questo processo per ogni segmento di linea nella figura risultante. Ecco le prime iterazioni:

Continuando questo processo si ottiene il fiocco di neve Koch al limite. Ecco un primo piano del bordo dopo più iterazioni:

Siccome lo zoom del fiocco di neve di Koch dà una curva che è una copia di se stessa su scala più piccola (chiamata curva di Koch), il fiocco di neve di Koch mostra autosimilarità.

Se il triangolo equilatero da cui partiamo ha il lato di lunghezza 1, si noti che sostituendo ogni segmento di linea con 444 segmenti di un terzo della lunghezza, moltiplichiamo la lunghezza per 43 \frac{4}{3} 34 ad ogni passo. Questo dimostra che dopo nnn passi, la lunghezza del perimetro è 3⋅(43)n 3 \cdot \sinistra( \frac{4}{3} \destra)^n3⋅(34)n, quindi la stella di Koch ha perimetro infinito se misurata come una curva 1-dimensionale.

Tuttavia, come vedremo più avanti, questo si verifica perché il fiocco di neve di Koch dovrebbe essere pensato come se avesse più di 1 dimensione e cercare di misurare una forma nella dimensione sbagliata dà una risposta senza senso. Questo è simile al tentativo di misurare la quantità di un filo molto sottile necessario per coprire un quadrato bidimensionale. Avremmo bisogno di un filo infinitamente lungo poiché stiamo cercando di misurare un oggetto bidimensionale con una curva unidimensionale.

Il fiocco di neve di Koch mostra che anche se i frattali sono complessi, possono essere generati applicando ripetutamente regole semplici. Possiamo pensare al triangolo iniziale del fiocco di neve di Koch come l’iniziatore e il passo di sostituire ogni linea con un picco come il generatore. Se invece iniziamo con un segmento di linea come iniziatore e usiamo il seguente generatore, otteniamo un modello diverso.

Questi esempi dimostrano le seguenti proprietà dei frattali.

I frattali hanno dettagli su scale arbitrariamente piccole e mostrano irregolarità che non possono essere descritte dal linguaggio geometrico tradizionale.

In altre parole, i frattali sono oggetti che, a qualsiasi ingrandimento, non si “appianeranno” mai per assomigliare allo spazio euclideo.

Gasket Sierpinski

Il gasket Sierpinski è un triangolo composto da copie più piccole di se stesso. Partendo da un triangolo riempito, collegare i punti medi di ogni lato, rimuovere il triangolo centrale e iterare sui tre triangoli riempiti rimanenti.

Se iniziamo con un triangolo di lato 111, qual è l’area della guarnizione di Sierpinski (lo spazio colorato di nero) al nnnesimo passo? Osserva che il numero di triangoli neri nell’nnn° passo è 3n3^n3n e la lunghezza del lato di un triangolo nell’nnn° passo è (12)n\sinistra( \frac{1}{2} \destra)^n(21)n. Allora l’area dello spazio nero nell’ennesimo passo è 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \destra)^n \cdot \left( \frac{2} \destra)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n volte l’area del triangolo originale, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \sinistra( \frac{1}{2} \destra)^{2n} \cdot \frac{sqrt{3}{4} = \sinistra( \frac{3}{4} \destra)^n \cdot \frac{sqrt{3}{4} = \frac{1}{sqrt{3} \sinistra( \frac{3}{4} \destra)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Questo si avvicina a 0 man mano che nnn va all’infinito. Come per il fiocco di neve di Koch, la guarnizione di Sierpinski dovrebbe essere pensata come avente una dimensione inferiore a 2, e misurarla nella dimensione sbagliata dà una risposta senza senso.