traccia gli zeri reali del polinomio dato sul grafico qui sotto e ci danno P di X è uguale a 2x alla quinta più X alla quarta meno 2x meno uno quando dicono tracciato ci danno questo piccolo widget qui dove se clicchiamo in qualsiasi punto su questo otteniamo il nostro punto e abbiamo tutti i punti che vogliamo e possiamo trascinare questi punti intorno o se non vogliamo più questi punti possiamo semplicemente scaricarli in questo piccolo cestino in basso a destra quindi pensiamo a quali sono gli zeri di questo polinomio per farlo tirerò fuori il mio blocco per gli appunti e questo è un po’ scoraggiante all’inizio questo è un quinto grado questo è un polinomio di quinto grado qui fattorizzare polinomi di quinto grado è davvero una specie di arte, dovrete davvero sedervi e cercare degli schemi, se si aspettano davvero che troviate gli zeri qui senza l’aiuto di un computer, senza l’aiuto di una calcolatrice, allora ci deve essere qualche tipo di schema che potete individuare qui, quindi lasciatemi riscrivere P di X, quindi P di X è uguale a 2x alla quinta più X alla quarta meno 2x meno uno, e un modo che si tipicamente visto quando si cerca di fattorizzare questo tipo di polinomi è quello di cercare di annullare essenzialmente la proprietà distributiva alcune volte e se volete metterlo in relazione con le tecniche di fattorizzazione dei quadratici è essenzialmente la fattorizzazione per raggruppamento così per esempio vedete un 2x vedete un 2x meno 1 o qualcosa che assomiglia a un 2x meno 1 proprio qui e qui avete un 2x alla quinto più X al quarto quindi hai un 2x di un termine di grado superiore più un 1 X di un grado inferiore quindi sembra esserci un qualche tipo di schema 2 volte X di grado superiore questo è il termine di primo grado meno 1 volte si potrebbe vedere come X allo 0 di un termine di grado inferiore e quindi pensiamoci un po’ cosa succede se essenzialmente proviamo a raggruppare questi due termini e raggruppiamo questi due termini proprio qui e proviamo a fattorizzare qualsiasi cosa per ripulirlo essenzialmente un po’ per vedere se possiamo dargli un senso beh questi due termini il più grande fattore comune è X alla 4 potremmo scriverlo come X alla quarta volta 2x più 1 e questo dovrebbe farci eccitare perché questo sembra abbastanza vicino a quello specialmente se dovessimo fattorizzare un negativo 1 qui quindi potremmo fattorizzare un 1 negativo e poi questo sarà 2x più 1 ed è eccitante perché ora possiamo fattorizzare un 2x più 1 da ognuno di questi termini quindi avete un 2x più 1 che fattorizzeremo entrambi per ottenere 2x più 1 che abbiamo appena fattorizzato e se lo fattorizzate da questo termine proprio sopra questo termine qui, ti rimane X alla quarta e fattorizzi questo termine, ti rimane solo il meno 1 meno 1 e ora questo è eccitante perché è molto più di X più 1, è abbastanza facile capire quando questa cosa è uguale a 0 e lo faremo tra un po’, e questo è abbastanza facile da fattorizzare, è una differenza di quadrati.scritto come può essere ri-scritto come x al quadrato più 1 volte x al quadrato meno volte x al quadrato meno 1 e naturalmente abbiamo ancora questo 2x più 1 davanti a 2x più 1 e ancora una volta abbiamo un’altra differenza di quadrati abbiamo un’altra differenza di quadrati proprio qui che è la stessa cosa di X più 1 volte X meno 1 e lasciatemi scrivere tutte le altre parti di questa espressione x al quadrato più 1 e hai 2x più 1 2x più 1 e penso di aver fattorizzato P di X più o meno quanto ci si poteva ragionevolmente aspettare, quindi P di X è uguale a tutta questa faccenda qui, ricorda che l’intera ragione per cui volevo fattorizzarlo è che volevo capire quando desistere è uguale a 0, quindi se P di X può essere espresso come il prodotto di un mucchio di queste espressioni, sarà 0 ogni volta che almeno una di queste espressioni è uguale a almeno una di queste espressioni è uguale a 0 se una qualsiasi di queste è uguale a 0 allora questo renderà l’intera espressione uguale a 0 quindi quando 2x più 1 è uguale a 0 quindi 2x più 1 è uguale a zero beh probabilmente potreste farlo nella vostra testa cosa facciamo possiamo farlo anche sistematicamente sottrarre uno da entrambi i lati si ottiene due x uguale a uno negativo dividere entrambi i lati per 2 si ottiene X è uguale a 1/2 negativo quindi quando x è uguale a 1/2 negativo o un modo di pensare a P di 1/2 negativo è 0 quindi P di 1/2 negativo è 0 quindi questo qui è un punto sul grafico ed è uno degli zeri reali ora potremmo provare a risolvere questo x al quadrato più 1 uguale a 0 lo scriverò solo per mostrarvi che se proviamo a isolare il termine X a sinistra sottraiamo 1 da entrambi i lati si ottiene che x al quadrato è uguale a 1 negativo ora se dovessimo andare se iniziamo a pensare ai numeri immaginari potremmo pensare a cosa potrebbe essere X ma loro vogliono che troviamo gli zeri reali gli zeri reali quindi non c’è nessun numero reale dove quel numero al quadrato è uguale a 1 negativo quindi non otterremo nessuno zero impostando questo zeri reali impostando questa cosa uguale a 0 nel for real non c’è nessun numero reale x dove x al quadrato più 1 sarà uguale a 0 ora pensiamo a quando X più 1 potrebbe essere uguale a 0 sottraiamo 1 da entrambi i lati si ottiene X è uguale a 1 negativo quindi P di 1 negativo sarà 0 quindi questo è un altro dei nostri zeri proprio lì e poi finalmente abbiamo pensiamo a quando X meno 1 è uguale a 0 beh, aggiungi 1 a entrambi i lati X è uguale a 1 quindi abbiamo un altro 0, abbiamo un altro 0 reale proprio lì e quindi potremmo tracciarli, lasciami fare, quindi è negativo 1 negativo 1/2 e 1 quindi è negativo 1 negativo 1/2 e 1 e possiamo controllare la nostra risposta e ce l’abbiamo proprio ora una cosa che potrebbe dire, sai, ti sta dando fastidio è come ehi, sai, Sal, hai appena raggruppato questo esattamente nel modo giusto, e se provassi a raggrupparlo in un modo diverso, e se provassi a farlo, e in effetti proviamo a farlo, potrebbe essere interessante solo per mostrarti che questo non è voodoo e in realtà ci sono diversi modi per arrivarci, ci sono diversi modi per arrivarci.grado, poi il grado successivo più alto e così via, lo scrivessi così: P di X è uguale a 2 X alla quinta meno 2x più X alla quarta meno 1 beh, in realtà anche in questo modo potresti fare un raggruppamento abbastanza interessante se raggruppi questi due insieme, vedi che hanno il fattore comune 2x, fattorizzi 2x e ottieni 2x volte X alla quarta meno 1 e penso che tu veda cosa sta succedendo e poi questo può essere riscritto come più 1 volte X alla quarta meno 1.scritto come più 1 volte X alla 4a mia X alla 4a meno 1 meno 1 e ora si potrebbe fattorizzare una X alla 4a meno 1 e si rimane solo in un colore neutro X alla 4a meno 1 volte 2x più 1 che è molto più facile da fattorizzare ora differenza di quadrati esattamente quello che abbiamo fatto l’ultima volta in giro quindi ci sono diversi modi in cui si sarebbe potuto ragionevolmente raggruppare questo e ragionevolmente annullare la proprietà distributiva ma ammetto che è una specie di arte, devi solo giocare e vedere se raggruppiamo i primi due termini, vediamo se c’è un fattore comune qui, raggruppiamo i secondi due termini, vediamo se c’è un fattore comune qui, ehi, una volta che abbiamo fattorizzato questi fattori comuni, sembra che entrambi questi due termini abbiano questa espressione comune come fattore e quindi puoi iniziare a fattorizzarli
.