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La geometria frattale è un campo della matematica nato negli anni ’70 e sviluppato principalmente da Benoit Mandelbrot. Se hai già sentito parlare dei frattali, probabilmente hai visto l’immagine qui sotto. Si chiama l’insieme di Mandelbrot ed è un esempio di forma frattale.
La geometria che hai imparato a scuola riguardava il modo di creare forme; la geometria frattale non è diversa. Mentre le forme che hai imparato nella geometria classica erano ‘lisce’, come un cerchio o un triangolo, le forme che vengono fuori dalla geometria frattale sono ‘ruvide’ e infinitamente complesse. Tuttavia la geometria frattale consiste ancora nel fare forme, misurare forme e definire forme, proprio come a scuola.
Ci sono due ragioni per cui dovresti interessarti alla geometria frattale:
1. Il processo con cui le forme sono fatte nella geometria frattale è incredibilmente semplice ma completamente diverso dalla geometria classica. Mentre la geometria classica usa formule per definire una forma, la geometria frattale usa l’iterazione. Si distacca quindi da giganti come Pitagora, Platone ed Euclide e va in un’altra direzione. La geometria classica ha goduto di oltre 2000 anni di controllo, la geometria frattale ne ha goduti solo 40.
2. Le forme che escono dalla geometria frattale assomigliano alla natura. Questo è un fatto sorprendente che è difficile da ignorare. Come tutti sappiamo, non ci sono cerchi perfetti in natura e non ci sono quadrati perfetti. Non solo, ma quando si guardano gli alberi o le montagne o i sistemi fluviali non assomigliano a nessuna forma a cui si è abituati in matematica. Tuttavia, con semplici formule iterate più volte, la geometria frattale può modellare questi fenomeni naturali con una precisione allarmante. Se puoi usare la matematica semplice per far assomigliare le cose al mondo, sai di essere su un vincitore. La geometria frattale lo fa con facilità.
Questo post del blog darà una rapida panoramica su come creare forme frattali e mostrare come queste forme possono assomigliare alla natura. Andrà poi a parlare della dimensionalità, che è un modo interessante per misurare i frattali. Si conclude discutendo come la geometria frattale sia anche vantaggiosa perché la casualità può essere introdotta nella struttura di una forma frattale. Il post non richiede quasi nessuna matematica e include molte belle immagini
Come fare una forma frattale
Nella geometria normale le forme sono definite da un insieme di regole e definizioni. Per esempio un triangolo è composto da tre linee rette che sono collegate. Le regole sono che se si ha la lunghezza di tutti e tre i lati del triangolo è completamente definito, inoltre se si ha la lunghezza di un lato e due angoli corrispondenti il triangolo è anche definito. Anche se le regole che definiscono un triangolo sono semplici, ne sono venute fuori enormi quantità di matematica utile, per esempio il teorema di Pitagora, sin() cos() e tan(), la prova che la distanza più breve tra due punti è una linea retta, ecc.
Anche la geometria frattale definisce le forme tramite regole, tuttavia queste regole sono diverse da quelle della geometria classica. Nella geometria frattale una forma è fatta in due passi: prima facendo una regola su come cambiare una certa forma (di solito classicamente geometrica). Questa regola viene poi applicata alla forma ancora e ancora, fino all’infinito. In matematica quando si cambia qualcosa si chiama di solito una funzione, quindi quello che succede è che una funzione viene applicata ad una forma in modo ricorsivo, come il diagramma qui sotto.
Dopo aver ripetuto un numero infinito di volte, viene prodotta la forma frattale. Cosa sono allora queste funzioni? Cosa intendi per ripetere all’infinito? Come sempre, questo si spiega meglio con un esempio…
Una buona forma frattale si chiama curva di von Koch. Le regole, o la funzione, sono estremamente semplici. Prima si inizia con una linea retta. Questa è la tua “forma iniziale”:
Le regole sono le seguenti:
1. Dividi ogni linea retta in 3 segmenti uguali.
2. Sostituisci il segmento centrale con un triangolo equilatero, e rimuovi il lato del triangolo corrispondente alla linea retta iniziale.
Il processo è mostrato nella figura sottostante:
Questo è ciò che accade alla linea retta, la nostra forma iniziale, quando passa attraverso la funzione la prima volta, la prima iterazione. Ora, la forma che ha prodotto viene reimmessa nella funzione per una seconda iterazione:
Ricordate che la regola era che ogni linea retta sarebbe stata divisa in terzi, quindi ora 4 linee vengono divise e trasformate in triangoli. La forma che viene prodotta dopo la seconda iterazione viene poi inserita nella funzione per una terza volta. Questo diventa difficile da disegnare in MS paint così ho usato un paio di immagini da questo sito web per le prossime fasi:
Dopo che questo ha iterato un numero infinito di volte la forma frattale è definita. Questo può sembrare sconcertante, ma è ancora possibile analizzarlo matematicamente e visivamente si può vedere come la forma inizia ad apparire. La gif qui sotto (da Wikipedia) è una buona illustrazione di come appare la curva ingrandendola:
La curva di von Koch è un grande esempio di frattale: la regola che si applica è semplice, eppure risulta in una forma così complessa. Questo tipo di forma è impossibile da definire usando la matematica convenzionale, eppure è così facile da definire usando la geometria frattale.
Allora a chi interessa la curva di von Koch? Non sono solo matematici che perdono tempo con forme strane? Immagino che dipenda da come la si guarda, ma io sono convinto che sia utile perché assomiglia esattamente a un fiocco di neve. Questo è più chiaro se la forma iniziale da cui si parte è un triangolo piuttosto che una linea retta:
C’è tutto un dibattito da fare sullo scopo della matematica, ma come ingegnere sono incline a dire che uno dei suoi scopi è quello di cercare di replicare il mondo che ci circonda. Le forme che vengono fuori dalla matematica frattale sono così diverse dalle forme matematiche convenzionali e così simili al mondo che ci circonda che non posso fare a meno di essere sedotto da questo argomento. Altre due forme che sono le mie preferite sono la felce di Barnsley:
e gli alberi frattali:
Non sono disegni o immagini, ma forme matematiche. Se si guardano le forme si può vedere quale funzione si ripete. Per esempio sulla Felce di Barsley la funzione è quella di disegnare circa 30 linee perpendicolari da ogni linea retta. La funzione si ripete e sembra una felce. Sull’albero si può vedere che ogni linea si ramifica due volte, che sarà la funzione che si ripete. Un’altra proprietà di queste forme (anche se strettamente non per tutti i frattali) è che sono autosimili. Questo significa che la forma si assomiglia a se stessa indipendentemente da quanto si ingrandisce o si riduce. Per esempio, sull’albero qui sopra, se si stacca un ramo e lo si mette in piedi, sembrerà l’albero originale. Se prendete un rametto dal ramo e lo sollevate, sembrerà ancora l’albero originale. Di nuovo, questa è una proprietà che si verifica in natura, ma fino alla geometria frattale non c’era un buon modo per metterla in matematica.
Non solo queste forme sembrano oggetti naturali, ma il processo di iterazione sembra intuitivo quando si pensa alla natura. Quando un albero cresce, il suo tronco crea dei rami, questi rami creano altri rami, questi rami creano dei ramoscelli. È come se la funzione fosse un codice genetico che dice al ramo come crescere e ripetersi, creando alla fine forme che sono ‘naturali’. Questo può sembrare pseudoscienza (lo è sicuramente) ma penso che questi siano concetti che vale la pena considerare quando si è in grado di imitare la natura così da vicino.
Basta parlare della natura, è ora di parlare di come i frattali hanno dimensioni pazzesche.
Dimensioni
Quindi ora sappiamo cosa sono le forme frattali e come crearle, vorremmo sapere alcune cose su di esse. Una delle prime cose da cercare di capire è la lunghezza di alcune di queste forme. Torniamo alla curva di von Koch.
Per capire quanto è lunga la curva di von Koch completa (dopo essere stata iterata un’infinità di volte), è utile considerare di nuovo ciò che accade al primo stadio:
La linea viene divisa in tre, poi la sezione centrale viene sostituita da due linee che sono lunghe quanto essa (poiché è un triangolo uguale). Quindi, se la linea retta originale aveva una lunghezza di 1, la lunghezza della curva dopo la prima iterazione è 4/3. Si scopre che ogni volta che si itera la forma, questa si allunga di 4/3. Quindi la lunghezza della curva dopo la seconda iterazione è 4/3 x 4/3 = 16/9:
Poiché 4/3 è maggiore di 1, la linea diventa più lunga ogni volta che si itera attraverso la funzione. Quando si itera la funzione un numero infinito di volte, la curva completa di von Koch ha un perimetro infinitamente lungo! Questo è il caso di tutte le forme frattali: hanno perimetri infinitamente lunghi. Questo non è utile per i matematici, quindi non misurano il perimetro della forma. Ora i prossimi paragrafi richiedono un po’ di pensiero astratto, ma se si pensa un po’ fuori dagli schemi ha senso.
Il perimetro misura la lunghezza intorno a qualcosa. La lunghezza è una misura 1D dello spazio. La lunghezza è 1D perché misura solo una linea retta. Una misura 2D dello spazio è l’area, 3D è il volume. Ora abbiamo dimostrato che non è utile misurare i modelli frattali in 1 dimensione perché sono infinitamente lunghi, ma ciò che è strano è che le forme frattali non sono 1D, 2D o 3D. Ogni forma frattale ha la sua dimensione unica, che di solito è un numero con una posizione decimale.
La dimensione di una forma frattale è una misura di quanto velocemente la forma diventa complicata quando la si itera. Cosa intendiamo per complicarsi? Bene, nella curva di von Koch puoi vedere che le prime iterazioni producono forme abbastanza semplici, tuttavia a circa 4 iterazioni iniziano a diventare abbastanza piccole e complesse.
Il modo per misurare quanto velocemente una forma diventa complicata, e quindi la sua dimensione, è misurare quanto più lungo diventa il perimetro dopo ogni iterazione. Questo ha senso intuitivamente, poiché se la linea diventa molto più lunga dopo ogni iterazione, probabilmente sta diventando molto complicata molto velocemente, mentre se la linea rimane più o meno della stessa lunghezza dopo ogni iterazione, allora probabilmente non sta diventando molto complessa.
Come abbiamo già mostrato, la curva di von Koch diventa 4/3 più lunga ad ogni iterazione. Questo significa che la curva di von Koch è 4/3 D, o 1,3333…D. Piuttosto folle, vero? Esiste da qualche parte tra 1D e 2D. Ma questa misura è davvero utile ai matematici perché dà informazioni sulla forma (mentre il perimetro non lo fa, è sempre infinito). Per esempio, se ci fosse un’altra forma frattale che fosse 1,93D, si potrebbe dire con sicurezza che quella forma diventa complessa più velocemente della curva di von Koch, poiché il perimetro diventa 1,93 volte più lungo dopo ogni iterazione piuttosto che 1,3333, implicando che diventa complesso più velocemente. Quando si studia una forma frattale, conoscere la sua dimensione è di fondamentale importanza.
La casualità
L’ultima cosa di cui voglio parlare è il fatto che la casualità può essere inserita nelle forme frattali. Eventi casuali (o apparentemente casuali) si verificano in natura tutto il tempo e influenzano diverse cose in una varietà di modi diversi, per esempio una grande parte dell’Ingegneria dell’Informazione ha a che fare con il rumore, che fluttua casualmente un segnale elettronico. Quando si cerca di replicare questo, di solito si aggiunge la casualità al segnale. Per esempio, in elettronica si potrebbe creare una bella onda sinusoidale e poi aggiungere del rumore su di essa (preso in prestito da questo sito web):
L’immagine in basso è l’onda ‘pura’, e l’immagine in alto è l’onda con il rumore aggiunto. Un presupposto intrinseco quando si fa questo è che c’è un segnale “puro” sottostante che viene alterato in modo casuale. Mentre questo può essere vero per molta elettronica, lo stesso non si può dire per la natura. Spesso non c’è una forma “pura” che viene alterata casualmente intorno ai bordi (per esempio non ci sono molti quadrati sfocati in natura), ma piuttosto la casualità ha effetti sulla struttura della forma stessa in ogni fase della sua evoluzione. La geometria classica non è brava a incorporare la casualità nelle forme, mentre la geometria frattale può farlo facilmente. Per l’ultima volta torniamo alla curva di von Koch. Tuttavia questa volta vi inseriremo la casualità.
Sappiamo che la regola è che per ogni iterazione si crea un triangolo nel terzo medio di una linea. Tuttavia ogni volta i triangoli sono sempre rivolti “verso l’esterno”. Potremmo inserire la casualità dicendo che per ogni triangolo creato, esso va o sopra la linea o sotto la linea a seconda del lancio di una moneta:
Ora la forma si svilupperà a caso secondo il lancio della moneta. Per esempio, dopo molteplici iterazioni, la curva di von Koch può assomigliare a questa:
o può essere completamente diversa. La cosa bella è che si può inserire la casualità nella forma stessa piuttosto che aggiungerla sopra una forma esistente. Questo ha un potenziale eccitante, per esempio (tornando alla natura) questo può essere un buon modo per modellare le mutazioni genetiche casuali.