Mi a fraktálok és miért érdekel?

A fraktálgeometria a matematika egyik területe, amely az 1970-es években született, és elsősorban Benoit Mandelbrot fejlesztette ki. Ha már hallottál a fraktálokról, valószínűleg láttad az alábbi képet. Mandelbrot-halmaznak hívják, és ez egy példa egy fraktál alakzatra.

A geometria, amit az iskolában tanultál, arról szólt, hogyan kell alakzatokat létrehozni; a fraktálgeometria sem különbözik ettől. Míg a klasszikus geometriában tanult alakzatok “sima” alakzatok voltak, mint például a kör vagy a háromszög, addig a fraktálgeometriából származó alakzatok “durvák” és végtelenül összetettek. A fraktálgeometria azonban még mindig az alakzatok készítéséről, az alakzatok méréséről és az alakzatok meghatározásáról szól, akárcsak az iskolában.

Két okból érdemes foglalkoznod a fraktálgeometriával:

1. A fraktálgeometriában az alakzatok létrehozásának folyamata elképesztően egyszerű, mégis teljesen más, mint a klasszikus geometriában. Míg a klasszikus geometria formulákat használ egy alakzat meghatározásához, addig a fraktálgeometria iterációt használ. Ezért szakít az olyan óriásoktól, mint Pitagorasz, Platón és Euklidész, és más irányba halad. A klasszikus geometriát több mint 2000 éve vizsgálják, a fraktálgeometriát csak 40 éve.

2. A fraktálgeometria által létrehozott formák a természethez hasonlítanak. Ez egy elképesztő tény, amit nehéz figyelmen kívül hagyni. Mint tudjuk, a természetben nincsenek tökéletes körök és tökéletes négyzetek. Nem csak ez, de ha fákat, hegyeket vagy folyórendszereket nézünk, azok nem hasonlítanak olyan alakzatokra, amelyeket a matematikában megszoktunk. Egyszerű, többször ismételt képletekkel azonban a fraktálgeometria riasztó pontossággal képes modellezni ezeket a természeti jelenségeket. Ha egyszerű matematikával olyan dolgokat tudsz létrehozni, amelyek hasonlítanak a világra, akkor tudod, hogy nyert ügyed van. A fraktálgeometria ezt könnyedén megteszi.

Ez a blogbejegyzés gyors áttekintést ad arról, hogyan lehet fraktál alakzatokat készíteni, és megmutatja, hogy ezek az alakzatok hogyan hasonlíthatnak a természethez. Ezután a dimenziósságról fog szólni, ami a fraktálok mérésének egy menő módja. Végül arról szól, hogy a fraktálgeometria azért is előnyös, mert a fraktál alakzatok szerkezetébe véletlenszerűséget is be lehet vinni. A bejegyzés szinte semmilyen matematikát nem igényel, és sok szép képet tartalmaz

Hogyan készítsünk egy fraktál alakzatot

A normál geometriában az alakzatokat egy sor szabály és definíció határozza meg. Például egy háromszög három egyenesből áll, amelyek összekapcsolódnak. A szabályok szerint, ha megvan a háromszög mindhárom oldalának hossza, akkor teljesen definiált, továbbá ha megvan az egyik oldal hossza és két megfelelő szög, akkor is definiált a háromszög. Bár a háromszöget meghatározó szabályok egyszerűek, mégis hatalmas mennyiségű hasznos matematika született belőlük, például a Pitagorasz-tétel, a sin() cos() és tan(), a bizonyítás, hogy két pont közötti legrövidebb távolság egy egyenes, stb.

A fraktálgeometria is szabályokkal határozza meg az alakzatokat, azonban ezek a szabályok eltérnek a klasszikus geometria szabályaitól. A fraktálgeometriában egy alakzatot két lépésben hozunk létre: először egy szabályt alkotunk arra vonatkozóan, hogy egy bizonyos (általában klasszikus geometriai) alakzatot hogyan változtatunk meg. Ezt a szabályt ezután újra és újra alkalmazzák az alakzatra, egészen a végtelenségig. A matematikában, amikor valamit megváltoztatunk, azt általában függvénynek nevezzük, tehát az történik, hogy egy függvényt rekurzívan alkalmazunk egy alakzatra, mint az alábbi ábrán.

A végtelen számú ismétlés után jön létre a fraktál alakzat. Mik ezek a függvények tehát? Mit értesz az alatt, hogy végtelenszer ismétlődik? Mint mindig, ezt is egy példával lehet a legjobban elmagyarázni…

A jó fraktál alakzatot von Koch-görbének hívják. A szabályok, vagyis a függvények rendkívül egyszerűek. Először is kezdjük egy egyenes vonallal. Ez a “kezdeti alakzatod”:

A szabályok a következők:

1. Minden egyenest osszunk fel 3 egyenlő szegmensre.

2. A középső szegmenst helyettesítsük egy egyenlő oldalú háromszöggel, és távolítsuk el a háromszögnek a kezdeti egyenesnek megfelelő oldalát.

A folyamatot az alábbi ábra mutatja:

Ez történik az egyenessel, a kezdeti alakzatunkkal, amikor először, az első iteráció során végigmegy a függvényen. Most az általa előállított alakzatot ismét visszatápláljuk a függvénybe egy második iterációra:

Emlékezzünk arra, hogy a szabály az volt, hogy minden egyenest harmadokra kell osztani, tehát most 4 egyenest osztunk fel, és háromszögekké alakítunk. A második iteráció után keletkezett alakzatot ezután harmadszor is betápláljuk a függvénybe. Ezt nehéz lesz lerajzolni MS paintben, ezért a következő néhány fázishoz néhány képet használtam erről a weboldalról:

A végtelen számú iteráció után a fraktál alakzat meg van határozva. Ez talán zavarba ejtően hangzik, de matematikailag mégis elemezhető, és vizuálisan is látható, hogy az alakzat hogyan kezd kinézni. Az alábbi gif (a Wikipédiából) jól szemlélteti, hogyan néz ki a görbe, ha ráközelítünk:

A von Koch-görbe remek példája a fraktálnak: az alkalmazott szabály egyszerű, mégis ilyen összetett alakzatot eredményez. Egy ilyen alakzatot lehetetlen a hagyományos matematikával meghatározni, mégis olyan könnyű a fraktálgeometria segítségével.

Szóval kit érdekel a von Koch-görbe? Nem csak a matematikusok vesztegetik az idejüket furcsa alakzatokra? Gondolom ez attól függ, hogyan nézzük, de én meg vagyok győződve róla, hogy hasznos, mert pontosan úgy néz ki, mint egy hópehely. Ez még világosabbá válik, ha a kiinduló alakzat, amivel kezdjük, nem egy egyenes, hanem egy háromszög:

A matematika céljáról lehet vitatkozni, de mérnökként hajlamos vagyok azt mondani, hogy az egyik célja az, hogy megpróbálja leképezni a körülöttünk lévő világot. A fraktál matematikából származó alakzatok annyira különböznek a hagyományos matematikai alakzatoktól és annyira hasonlítanak a minket körülvevő világhoz, hogy nem tudok nem elcsábulni ettől a témától. Két másik alakzat, ami a kedvenceim közé tartozik, a Barnsley páfrány:

és a fraktálfák:

Ezek nem rajzok vagy képek, hanem matematikai alakzatok. Ha megnézed az alakzatokat, láthatod, hogy milyen függvény ismétli önmagát. Például a Barsley Fern-en a függvény az, hogy minden egyenesből kb. 30 merőleges vonalat rajzolnak ki. A függvény ismétli önmagát, és úgy néz ki, mint egy páfrányfenyő. A fán láthatod, hogy minden vonal kétszer elágazik, ami az önmagát ismétlődő függvény lesz. Egy másik tulajdonság ezekkel az alakzatokkal kapcsolatban (bár szigorúan nem minden fraktál esetében) az, hogy önhasonlóak. Ez azt jelenti, hogy az alakzat önmagához hasonlít, bármennyire is nagyítjuk vagy kicsinyítjük. Például a fenti fán, ha letörnénk róla egy ágat, és felállítanánk, úgy nézne ki, mint az eredeti fa. Ha leveszünk egy ágat az ágról, és felállítjuk, akkor is úgy néz ki, mint az eredeti fa. Ez is egy olyan tulajdonság, amely a természetben is előfordul, de a fraktálgeometriáig nem volt jó módszer arra, hogy ezt matematikailag kifejezzük.

Nemcsak, hogy ezek az alakzatok úgy néznek ki, mint a természetes tárgyak, de az iteráció folyamata intuitívan hangzik, ha a természetre gondolunk. Amikor egy fa nő, a törzse ágakat hoz létre, ezek az ágak további ágakat, ezek az ágak pedig gallyakat. Olyan, mintha a funkció egy genetikai kód lenne, amely megmondja az ágnak, hogyan növekedjen és ismételje önmagát, és végül olyan formákat hozzon létre, amelyek “természetesek”. Ez talán áltudománynak hangzik (határozottan az is), de úgy gondolom, hogy ezek olyan fogalmak, amelyeket érdemes megfontolni, ha már ilyen közelről képesek vagyunk utánozni a természetet.

Elég a természetből, ideje beszélni arról, hogy a fraktáloknak milyen őrült dimenziói vannak.

Dimenziók

Most már tudjuk, hogy mik a fraktál alakzatok és hogyan lehet őket létrehozni, szeretnénk tudni róluk néhány dolgot. Az egyik első dolog, amit megpróbálunk kideríteni, az néhány ilyen alakzat hossza. Térjünk vissza a von Koch-görbéhez.

Hogy kitaláljuk, milyen hosszú a teljes von Koch-görbe (miután végtelen sokszor iteráltuk), hasznos, ha újra megvizsgáljuk, mi történik az első szakaszban:

A vonalat három részre osztjuk, majd a középső részt két olyan hosszú vonallal helyettesítjük, mint az (mivel ez egy egyenlő háromszög). Tehát ha az eredeti egyenes hossza 1 volt, akkor az első iteráció után a görbe hossza 4/3 lesz. Kiderül, hogy minden egyes iterációnál az alakzat 4/3-mal hosszabb lesz. Tehát a görbe hossza a második iteráció után 4/3 x 4/3 = 16/9:

Mivel a 4/3 nagyobb, mint 1, az egyenes minden egyes iterációnál hosszabb lesz. Mivel a függvényt végtelen sokszor iteráljuk, a teljes von Koch-görbe kerülete végtelen hosszú lesz! Ez minden fraktál alakzatra igaz: végtelenül hosszú kerületük van. Ez a matematikusok számára nem hasznos, ezért nem mérik meg az alakzat kerületét. Most a következő néhány bekezdés egy kicsit absztrakt gondolkodást igényel, de ha egy kicsit kívülről gondolkodunk, akkor van értelme.

A kerület valaminek a körüli hosszát méri. A hossz a tér 1 dimenziós mértékegysége. A hossz azért 1D, mert csak egy egyenes vonalat mér. A tér 2D-s mértékegysége a terület, a 3D-s a térfogat. Most megmutattuk, hogy a fraktálmintákat nem hasznos 1 dimenzióban mérni, mivel végtelen hosszúak, de ami furcsa, hogy a fraktálalakzatok nem 1D, 2D vagy 3D. Minden fraktál alakzatnak megvan a maga egyedi dimenziója, ami általában egy tizedesjegyes szám.

A fraktál alakzat dimenziója azt méri, hogy az alakzat milyen gyorsan válik bonyolulttá az ismétlés során. Mit értünk bonyolulttá válás alatt? Nos, a von Koch-görbén láthatjuk, hogy az első néhány iteráció egészen egyszerű alakzatot eredményez, azonban körülbelül a 4. iterációnál kezd egészen kicsi és bonyolult lenni.

Az, hogy megmérjük, milyen gyorsan bonyolódik egy alakzat, és így a dimenziója is, az, hogy megmérjük, mennyivel hosszabbodik meg a kerülete minden egyes iteráció után. Ennek intuitíve van értelme, hiszen ha az egyenes minden egyes iteráció után sokkal hosszabb lesz, akkor valószínűleg nagyon gyorsan nagyon bonyolulttá válik, míg ha az egyenes minden egyes iteráció után nagyjából ugyanolyan hosszú marad, akkor valószínűleg nem lesz nagyon bonyolult.

Amint már megmutattuk, a von Koch-görbe minden iteráció után 4/3-mal hosszabb lesz. Ez azt jelenti, hogy a von Koch-görbe 4/3 D, vagy 1,3333…D. Elég őrült, nem igaz? Valahol az 1D és a 2D között létezik. De ez a mérték igazán hasznos a matematikusok számára, mivel információt ad az alakról (míg a kerület nem, az mindig végtelen). Ha például lenne egy másik fraktál alakzat, amely 1,93D, akkor nyugodtan kijelenthetnénk, hogy ez az alakzat gyorsabban bonyolódik, mint a von Koch-görbe, mivel a kerület minden egyes iteráció után 1,93-szor hosszabb lesz, mint 1,3333, ami azt jelenti, hogy gyorsabban bonyolódik. Egy fraktál alakzat tanulmányozásakor a dimenziójának ismerete szerves jelentőséggel bír.

Véletlenszerűség

Az utolsó dolog, amiről beszélni fogok, az az, hogy a fraktál alakzatokba véletlenszerűség is beilleszthető. A természetben állandóan előfordulnak véletlenszerű (vagy véletlennek tűnő) események, és különböző dolgokra sokféleképpen hatnak, például az információtechnika nagy része foglalkozik a zajjal, amely véletlenszerűen ingadozik egy elektronikus jelet. Amikor ezt próbáljuk megismételni, általában véletlenszerűséget adunk a jelhez. Az elektronikában például létrehoznál egy szép szinuszhullámot, majd zajt adnál hozzá (erről a weboldalról kölcsönöztem):

Az alsó kép a “tiszta” hullám, a felső kép pedig a zajjal kiegészített hullám. Ennek a műveletnek a velejárója az a feltételezés, hogy van egy mögöttes “tiszta” jel, amelyet véletlenszerűen módosítanak. Bár ez sok elektronikára igaz lehet, ugyanez nem mondható el a természetről. Gyakran nem egy “tiszta” alakzat létezik, amely véletlenszerűen módosul a széleken (például a természetben nem sok homályos négyzet van), hanem a véletlenszerűség inkább magának az alakzatnak a szerkezetére van hatással a fejlődés minden egyes szakaszában. A klasszikus geometria nem jó abban, hogy a véletlenszerűséget beépítse az alakzatokba, míg a fraktálgeometria könnyen képes erre. Utoljára térjünk rá a von Koch-görbére. Ezúttal azonban véletlenszerűséget fogunk beleilleszteni.

Tudjuk, hogy a szabály az, hogy minden egyes iterációnál egy háromszög jön létre a vonal középső harmadában. Azonban minden alkalommal a háromszögek mindig “kifelé” néznek. Beilleszthetnénk a véletlenszerűséget azzal, hogy minden egyes létrehozott háromszög egy pénzfeldobástól függően a vonal fölé vagy alá kerül:

Ezután az alakzat a pénzfeldobásnak megfelelően véletlenszerűen alakul. Például többszöri ismétlés után a von Koch-görbe így nézhet ki:

Vagy teljesen másképp. Az a klassz ebben, hogy a véletlenszerűséget magába az alakzatba is beillesztheted, nem pedig egy meglévő alakzat tetejére. Ez izgalmas lehetőségeket rejt magában, például (visszatérve a természethez) ez jó módszer lehet a véletlenszerű genetikai mutációk modellezésére.