Magasabb fokú polinomok faktorálása…fokú polinomok

rajzoljuk az adott polinom valós zérusait az alábbi grafikonon, és megadják nekünk, hogy P az X egyenlő 2x az ötödikhez plusz X a negyedikhez mínusz 2x mínusz egy, amikor azt mondják, hogy ábrázolva, akkor megadják nekünk ezt a kis widgetet itt, ahol ha bármelyik pontra kattintunk, akkor megkapjuk a pontunkat, és annyi pontot kapunk, amennyit csak akarunk, és ezeket a pontokat körbe tudjuk húzni. vagy ha már nem akarjuk ezeket a pontokat, akkor egyszerűen kidobhatjuk őket ebbe a kis szemetesbe a jobb alsó sarokban, szóval gondolkodjunk el azon, hogy mik ennek a polinomnak a nullái, hogy ezt megtehessük, előveszem a jegyzettömbömet, és ez egy kicsit ijesztő lesz elsőre, ez egy ötödfokú polinom, ez egy ötödfokú polinom, itt az ötödfokú polinomok faktorizálása tényleg egyfajta művészet, tényleg le kell ülnöd és mintákat kell keresned, ha tényleg azt várják, hogy megtaláld a nullákat számítógép nélkül, számológép nélkül, akkor kell lennie valamilyen mintának, amit ki tudsz venni, szóval hadd írjam át az X P-jét, tehát az X P-je egyenlő 2x az ötödik plusz X a negyedikhez mínusz 2x mínusz egy és egy módon ez… tipikusan az ilyen típusú polinomok faktorálásánál az, hogy megpróbáljuk néhányszor visszacsinálni a disztributív tulajdonságot, és ha a kvadratikusok faktorálási technikáihoz akarjuk kapcsolni, akkor lényegében csoportosítással faktorálunk, tehát például látunk egy 2x-et, látunk egy 2x mínusz 1-et, vagy valami olyat, ami úgy néz ki, mint egy 2x mínusz 1 itt, és itt van egy 2x mínusz 1 itt, és itt van egy 2x a ötödik plusz X a negyedikhez, tehát van egy 2x egy magasabb fokú kifejezés plus egy 1 X egy alacsonyabb fokúhoz, tehát úgy tűnik, hogy ez egyfajta minta, 2-szer X egy magasabb fokú ez az első fokú kifejezés mínusz 1-szer, ezt tekinthetjük úgy is, mint X a 0-hoz egy alacsonyabb fokú kifejezéshez, tehát gondoljuk át egy kicsit, hogy mi történik, ha lényegében megpróbáljuk ezt a két kifejezést csoportosítani és csoportosítjuk ezt a két kifejezést itt, és megpróbálunk bármit is faktorálni, hogy lényegében egy kicsit megtisztítsuk, hogy lássuk, van-e értelme, nos ez a két kifejezés a legnagyobb közös tényező X a 4-hez, ezt úgy írhatnánk, hogy X a negyedikhez szorozva 2x plusz 1, és ez izgalmas lehet, mert ez elég közel áll ehhez, különösen, ha faktoráljuk ki a negatívot. 1 itt, tehát ki tudnánk faktorálni egy negatív 1-et, és akkor ez 2x plusz 1 lesz, és ez izgalmas, mert most ki tudunk faktorálni egy 2x plusz 1-t mindkettőből, tehát van egy 2x plusz 1, mindkettőt ki fogjuk faktorálni, mindkettőt ki fogjuk faktorálni, hogy megkapjuk a 2x plusz 1-t, amit most faktoráltunk ki, és ha faktorálnánk ki ebből a kifejezésből pont itt ezt a kifejezést itt, akkor marad X a negyedikig, és ha ezt a kifejezést kiszorítjuk, akkor csak a mínusz 1 mínusz 1 marad, és most ez izgalmas, mert ez sokkal több, mint X plusz 1. Ez elég könnyű kitalálni, hogy mikor lesz ez a dolog egyenlő 0-val, és ezt egy kicsit később meg fogjuk csinálni, és ez elég könnyen faktorálható, ez egy négyzetek különbsége, ez itt lehet újra…fel lehet írni, mint re-x négyzet plusz 1 x x négyzet mínusz x négyzet mínusz 1 és persze még mindig ott van ez a 2x plusz 1 elöl 2x plusz 1 és megint van egy másik négyzetek különbsége, van egy másik négyzetek különbsége itt, ami ugyanaz, mint X plusz 1 x X mínusz 1 és hadd írjam le ennek a kifejezésnek a többi részét x négyzet plusz 1 és 2x plusz 1 2x plusz 1, és azt hiszem, hogy az X P-jét annyira faktoráltam, amennyire csak ésszerűen elvárható volt, szóval az X P-je egyenlő ezzel az egész dologgal itt, emlékezzünk, hogy azért akartam faktorálni, mert ki akartam találni, hogy mikor lesz egyenlő 0-val, szóval ha az X P-je kifejezhető egy csomó ilyen kifejezés szorzataként, akkor mindig 0 lesz, ha ha ezek közül legalább egy egyenlő 0-val, ha bármelyik egyenlő 0-val, akkor az egész kifejezés egyenlő lesz 0-val, tehát mikor 2x plusz 1 egyenlő 0-val, tehát 2x plusz 1 egyenlő nullával, nos, ezt valószínűleg meg tudod csinálni fejben, amit mi csinálunk, azt szisztematikusan is megtehetjük, ha mindkét oldalból kivonunk egyet, akkor kettő x egyenlő negatív egy osztjuk el mindkét oldalt. kettővel, akkor megkapod, hogy X egyenlő negatív 1/2-vel, tehát amikor x egyenlő negatív 1/2-vel, vagy ha úgy gondolod, hogy a negatív 1/2 P-je 0, tehát a negatív 1/2 P-je 0, tehát ez itt egy pont a grafikonon, és ez az egyik valós nulla. Most megpróbálhatjuk megoldani ezt az x négyzet plusz 1 egyenlő 0-val, csak azért írom le, hogy megmutassam, ha megpróbáljuk izolálni az X tagot a bal oldalon, kivonjuk… 1 mindkét oldalról, akkor megkapjuk, hogy x négyzete egyenlő negatív 1-gyel, most ha elkezdenénk gondolkodni a képzeletbeli számokon, akkor gondolkodhatnánk azon, hogy mi lehet az X, de azt akarják, hogy megtaláljuk a valós nullákat, a valós nullákat, tehát nincs olyan valós szám, ahol a szám négyzete egyenlő negatív 1-gyel, tehát nem fogunk semmilyen nullát kapni, ha ezt a valós nullát beállítjuk, ha ezt beállítjuk… 0-val egyenlővé tesszük a for real-ban, mert nincs olyan valós szám, ahol x négyzete plusz 1 egyenlő lenne 0-val. Most gondolkodjunk el azon, hogy mikor lehet X plusz 1 egyenlő 0-val, kivonjuk mindkét oldalról az 1-et, és megkapjuk, hogy X egyenlő negatív 1-gyel, tehát a negatív 1 P-je 0 lesz, tehát ez egy újabb nullánk, és végül gondolkodjunk el azon, hogy mikor lehet X mínusz 1 egyenlő 0-val. egyenlő 0-val, nos, ha mindkét oldalhoz hozzáadunk 1-et, akkor X egyenlő 1, tehát van egy másik 0-nk, van egy másik valódi 0-nk, és így felrajzolhatjuk őket, hadd rajzoljam meg, tehát ez negatív 1 negatív 1/2 és 1, tehát ez negatív 1 negatív 1/2 és 1, és ellenőrizhetjük a válaszunkat, és már meg is kaptuk. Egy dolog, ami talán azt mondja, hogy tudod, az zavar, hogy hé, tudod, Sal, véletlenül csoportosítottál. mi lenne, ha megpróbálnám máshogy csoportosítani, mi lenne, ha megpróbálnám, mi lenne, ha megpróbálnám, és igazából próbáljuk meg, ez érdekes lehet, csak hogy megmutassuk, hogy ez nem voodoo, és valójában többféleképpen is el lehet jutni oda, többféleképpen is el lehet jutni oda, szóval mi lenne, ha ahelyett, hogy így írnánk, mi a legmagasabb…aztán a következő legmagasabb fokú kifejezés, és így tovább, és így tovább, és így tovább, ha így írnánk: P of X egyenlő 2 X az ötödik mínusz 2x plusz X a negyedik mínusz 1. Nos, valójában még így is elég érdekes csoportosítást tudnánk végezni, ha ezt a kettőt csoportosítjuk, látjuk, hogy a közös tényezőjük 2x, ha 2x-et kitényezzük, akkor 2x-szer X a negyedik mínusz 1, és azt hiszem, látjuk, mi folyik itt, és akkor ez lehet újraplusz 1-szer X a 4.-hez az X a 4.-hez mínusz 1 mínusz 1, és most már ki tudod faktorálni az X a 4.-hez mínusz 1-t, és csak egy semleges színű X a 4.-hez mínusz 1-szor 2x plusz 1 marad, ami sokkal könnyebben faktorálható most már négyzetek különbségét, pontosan azt, amit a múltkor csináltunk, szóval többféleképpen lehetett volna ésszerűen csoportosítani és ésszerűen visszacsinálni a disztribúciót. de elismerem, hogy ez egyfajta művészet, tényleg csak játszani kell, és nézzük meg, hogy csoportosítsuk az első két tagot, nézzük meg, hogy van-e itt egy közös tényező, csoportosítsuk a második két tagot, nézzük meg, hogy van-e itt egy közös tényező, hé, ha ezeket a közös tényezőket kiszűrjük, akkor úgy tűnik, hogy mind a két tagnak van ez a közös kifejezése, mint tényező, és akkor elkezdhetjük a faktorozást.