Fraktálok

Először is kezdjük a fraktálok tulajdonságával, amit a Romanesco karfiolban megfigyeltünk.

Tulajdonság: Az önhasonlóság az a tulajdonság, hogy egy objektumra ráközelítve véget nem érő, ismétlődő mintázatot kapunk.

A természetben az önhasonlóság másik példája a kristályosodó víz és a hópelyhek ismétlődő mintázata.

“Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Hogyan írjuk le ezeket az önhasonló mintákat, és hogyan állíthatunk elő matematikailag önhasonló alakzatokat, amelyek bármilyen nagyításban reprodukálhatók? Fraktálmintákat láttunk már hópelyhekben, ezért kezdjük egy hópehelyre hasonlító önhasonló minta előállításával.

Koch-hópehely

Egy egyenlő oldalú háromszögből kiindulva hozzunk létre egy egyenlő oldalú háromszöget úgy, hogy mindkét oldal középső harmadát használjuk alapként, majd távolítsuk el a háromszög alapját. Most ismételd meg ezt a folyamatot a kapott ábra minden egyes vonalszakaszára. Íme az első néhány iteráció:

A folyamat folytatása adja a Koch-hópihét a határon. Íme egy közeli felvétel a határról több ismétlés után:

Mivel a Koch-hópehelyre nagyítva olyan görbét kapunk, amely kisebb léptékben önmagának másolata (az úgynevezett Koch-görbe), a Koch-hópehely önhasonlóságot mutat.

Ha az egyenlő oldalú háromszög, amiből kiindulunk, oldalhosszúsága 1, akkor vegyük észre, hogy minden egyes vonalszakasz egyharmad hosszúságú 444 szegmenssel való helyettesítésével a hosszát 43 \frac{4}{3}-mal szorozzuk meg 34 minden egyes lépésnél. Ez azt mutatja, hogy nnn lépés után a kerület hossza 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, tehát a Koch-csillagnak végtelen a kerülete, ha 1 dimenziós görbeként mérjük.

Ez azonban, mint később látni fogjuk, azért merül fel, mert a Koch-hópihét 1-nél több dimenzióban kell elképzelni, és ha egy alakzatot rossz dimenzióban próbálunk megmérni, az értelmetlen választ ad. Ez hasonló ahhoz, mintha egy nagyon vékony cérna mennyiségét próbálnánk megmérni, ami egy 2 dimenziós négyzet befedéséhez szükséges. Végtelenül hosszú cérnára lenne szükségünk, mivel egy kétdimenziós tárgyat próbálunk megmérni egy egydimenziós görbével.

A Koch-hópehely azt mutatja, hogy bár a fraktálok összetettek, egyszerű szabályok ismételt alkalmazásával is létrehozhatók. A Koch-hópehely kiinduló háromszögét tekinthetjük a kezdeményezőnek, az egyes vonalak egy-egy csúccsal való helyettesítésének lépését pedig a generátornak. Ha ehelyett egy vonalszakaszból mint kezdeményezőből indulunk ki, és a következő generátort használjuk, más mintázatot kapunk.

Ezek a példák a fraktálok következő tulajdonságait mutatják be:

A fraktálok tetszőlegesen kis léptékű részletességgel rendelkeznek, és olyan szabálytalanságot mutatnak, amely a hagyományos geometriai nyelvvel nem írható le.

Más szóval, a fraktálok olyan objektumok, amelyek bármilyen nagyításnál soha nem “simulnak ki”, hogy úgy nézzenek ki, mint az euklideszi tér.

Sierpinski-tömítés

A Sierpinski-tömítés egy olyan háromszög, amely önmagának kisebb másolataiból áll. Egy kitöltött háromszögből kiindulva kössük össze az egyes oldalak középpontjait, távolítsuk el a középső háromszöget, és iteráljunk a megmaradt három kitöltött háromszögön.

Ha egy 111 oldalhosszúságú háromszöggel kezdünk, mekkora a Sierpinski-tömítés (a feketével színezett tér) területe az nnn-edik lépésben? Figyeljük meg, hogy az nnn-edik lépésben a fekete háromszögek száma 3n3^n3n, és egy háromszög oldalának hossza az nnn-edik lépésben (12)n\left( \frac{1}{2} \right)^n(21)n. Akkor az nnn-edik lépésben a fekete tér területe 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n szorosa az eredeti háromszög területének, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Ez az nnn végtelen felé haladva közelít a 0-hoz. A Koch-hópehelyhez hasonlóan a Sierpinski-tömítésre is úgy kell gondolni, mint amelynek dimenziója kisebb, mint 2, és a rossz dimenzióban való mérés értelmetlen választ ad.