(Hay otra «Fórmula de Euler» sobre Geometría,
esta página es sobre la utilizada en los Números Complejos)
En primer lugar, es posible que hayas visto la famosa «Identidad de Euler»:
eiπ + 1 = 0
Parece absolutamente mágico que una ecuación tan ordenada combine:
- e (el número de Euler)
- i (el número imaginario unitario)
- π (el famoso número pi que aparece en muchos ámbitos interesantes)
- 1 (el primer número de conteo)
- 0 (cero)
¡Y además tiene las operaciones básicas de sumar, multiplicar y un exponente también!
Pero si quieres hacer un interesante viaje por las matemáticas, descubrirás cómo se produce.
¿Interesado? Sigue leyendo!
Descubrimiento
Fue alrededor de 1740, y los matemáticos se interesaron por los números imaginarios.
Un número imaginario, cuando se eleva al cuadrado da un resultado negativo
Esto es normalmente imposible (intenta elevar al cuadrado algunos números, recordando que la multiplicación de los negativos da un positivo, y mira si puedes obtener un resultado negativo), pero ¡imagina que puedes hacerlo!¡
Y podemos tener este número especial (llamado i por imaginario):
i2 = -1
Leonhard Euler se divertía un día, jugando con números imaginarios (¡o eso imagino!), y tomó esta conocida Serie de Taylor (lee sobre ellas, son fascinantes):
ex = 1 + x + x22! ¡+ x33! ¡¡¡+ x44! ¡¡+ x55! ¡+ …
Y le puso i:
eix = 1 + ix + (ix)22! ¡+ (ix)33! ¡+ (ix)44! ¡+ (ix)55! + …
Y como i2 = -1, se simplifica a:
eix = 1 + ix – ¡x22! – ¡ix33! + x44! ¡+ ix55! – …
Ahora agrupa todos los términos i al final:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Y aquí está el milagro… los dos grupos son en realidad las series de Taylor para cos y sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – ¡…
sin x = x – x33! + x55! – …
Y así se simplifica a:
eix = cos x + i sin x
¡Debió de ponerse muy contento cuando lo descubrió!
Y ahora se llama Fórmula de Euler.
Intentémosla:
Ejemplo: cuando x = 1,1
Nota: estamos usando radianes, no grados.
La respuesta es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario, que juntos se llama Número Complejo.
Podemos graficar dicho número en el plano complejo (los números reales van de izquierda a derecha, y los números imaginarios van de arriba a abajo):
Aquí mostramos el número 0,45 + 0,89 i
Que es lo mismo que e1,1i
¡Vamos a graficar un poco más!
¡Un Círculo!
Sí, poniendo la Fórmula de Euler en esa gráfica se produce un círculo:
eix produce un círculo de radio 1
Y cuando incluimos un radio de r podemos convertir cualquier punto (como 3 + 4i) en forma de reix encontrando el valor correcto de x y r:
Ejemplo: el número 3 + 4i
Para convertir 3 + 4i en forma reix hacemos una conversión cartesiana a polar:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (a 3 decimales)
Así que 3 + 4i también puede ser 5e0,927 i
Es otra forma
Es básicamente otra forma de tener un número complejo.
Esto resulta muy útil, ya que hay muchos casos (como la multiplicación) en los que es más fácil utilizar la forma reix en lugar de la forma a+bi.
Planificando eiπ
Por último, al calcular la Fórmula de Euler para x = π obtenemos:
Y aquí está el punto creado por eiπ (donde empezó nuestra discusión):
Y eiπ = -1 se puede reordenar en:
eiπ + 1 = 0
La famosa identidad de Euler.