(Il existe une autre « formule d’Euler » sur la géométrie,
cette page concerne celle utilisée dans les nombres complexes)
D’abord, vous avez peut-être vu la fameuse « identité d’Euler »:
eiπ + 1 = 0
Il semble absolument magique qu’une équation aussi nette combine :
- e (le nombre d’Euler)
- i (le nombre imaginaire unitaire)
- π (le célèbre nombre pi qui apparaît dans de nombreux domaines intéressants)
- 1 (le premier nombre à compter)
- 0 (zéro)
Et possède également les opérations de base d’addition, de multiplication et un exposant aussi !
Mais si vous voulez faire un voyage intéressant à travers les mathématiques, vous allez découvrir comment cela se passe.
Intéressé ? Lisez la suite !
Découverte
C’était vers 1740, et les mathématiciens s’intéressaient aux nombres imaginaires.
Un nombre imaginaire, lorsqu’il est élevé au carré donne un résultat négatif
C’est normalement impossible (essayez d’élever au carré quelques nombres, en vous rappelant que la multiplication des négatifs donne un positif, et voyez si vous pouvez obtenir un résultat négatif), mais imaginez que vous pouvez le faire !
Et nous pouvons avoir ce nombre spécial (appelé i pour imaginaire):
i2 = -1
Leonhard Euler s’amusait un jour, jouant avec des nombres imaginaires (du moins je l’imagine !), et il a pris cette série de Taylor bien connue (lisez sur ces séries, elles sont fascinantes):
ex = 1 + x + x22 ! + x33 ! + x44 ! + x55 ! + …
Et il y mit i :
eix = 1 + ix + (ix)22 ! + (ix)33 ! + (ix)44 ! + (ix)55 ! + …
Et parce que i2 = -1, cela se simplifie en :
eix = 1 + ix – x22 ! – ix33 ! + x44 ! + ix55 ! – …
Maintenant regroupez tous les termes i à la fin :
eix = ( 1 – x22 ! + x44 ! – … ) + i( x – x33 ! + x55 ! – … )
Et voici le miracle… les deux groupes sont en fait les séries de Taylor pour cos et sin:
cos x = 1 – x22 ! + x44 ! – …
sin x = x – x33 ! + x55 ! – …
Et donc cela se simplifie en:
eix = cos x + i sin x
Il a dû être tellement heureux quand il a découvert cela!
Et c’est maintenant appelé la formule d’Euler.
Donnons-lui un essai :
Exemple : lorsque x = 1,1
Note : nous utilisons des radians et non des degrés.
La réponse est une combinaison d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire, dont l’ensemble est appelé un nombre complexe.
Nous pouvons tracer un tel nombre sur le plan complexe (les nombres réels vont de gauche à droite, et les nombres imaginaires de haut en bas):
Nous montrons ici le nombre 0,45 + 0,89 i
Ce qui est identique à e1.1i
Traçons-en d’autres!
Un cercle !
Oui, en mettant la formule d’Euler sur ce graphique, on obtient un cercle :
eix produit un cercle de rayon 1
Et quand on inclut un rayon de r, on peut transformer n’importe quel point (comme 3 + 4i) en forme reix en trouvant la bonne valeur de x et r :
Exemple : le nombre 3 + 4i
Pour transformer 3 + 4i en forme de reix, nous faisons une conversion cartésienne en polaire :
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (à 3 décimales près)
Donc 3 + 4i peut aussi être 5e0,927 i
C’est une autre forme
C’est essentiellement une autre façon d’avoir un nombre complexe.
Cela s’avère très utile, car il y a de nombreux cas (comme la multiplication) où il est plus facile d’utiliser la forme reix plutôt que la forme a+bi.
Tracer eiπ
Enfin, lorsque nous calculons la formule d’Euler pour x = π, nous obtenons :
Et voici le point créé par eiπ (où notre discussion a commencé) :
Et eiπ = -1 peut être réarrangé en:
eiπ + 1 = 0
La fameuse identité d’Euler.