Parametrinen yhtälö

Parametrinen yhtälö, yhtälötyyppi, jossa käytetään riippumatonta muuttujaa, jota kutsutaan parametriksi (usein merkitään t:llä) ja jossa riippuvaiset muuttujat määritellään parametrin jatkuviksi funktioiksi eivätkä ne ole riippuvaisia jostakin muusta olemassa olevasta muuttujasta. Tarvittaessa voidaan käyttää useampaa kuin yhtä parametria. Esimerkiksi kartesiomuotoisen yhtälön y = x2 sijasta sama yhtälö voidaan kuvata parametrimuotoisena yhtälöparina: x = t ja y = t2. Tätä muuntamista parametriseen muotoon kutsutaan parametrisoinniksi, joka tarjoaa suuren tehokkuuden, kun käyriä differentioidaan ja integroidaan.

Parametristen yhtälöiden avulla kuvatut käyrät (joita kutsutaan myös parametrisiksi käyrästöiksi) voivat vaihdella kaikkein yksinkertaisimpien yhtälöiden kuvaajista kaikkein monimutkaisimpien yhtälöiden kuvaajiin. Parametrisia yhtälöitä voidaan käyttää kuvaamaan kaikentyyppisiä käyriä, jotka voidaan esittää tasolla, mutta niitä käytetään useimmiten tilanteissa, joissa kartesiolaisen tason käyriä ei voida kuvata funktioilla (esim. kun käyrä ylittää itsensä). Parametrisia yhtälöitä käytetään usein myös kolmiulotteisissa tiloissa, ja ne voivat olla yhtä lailla käyttökelpoisia tiloissa, joissa on enemmän kuin kolme ulottuvuutta, toteuttamalla useampia parametreja.

Kartesiolaisella tasolla olevien käyrien kuvaajien esittämisessä parametrisessa muodossa olevat yhtälöt voivat antaa selkeämmän esityksen kuin kartesiolaisessa muodossa olevat yhtälöt. Esimerkiksi ympyrän yhtälö tasossa, jonka säde on r ja keskipiste origossa, on x2 + y2 = r2. Tämä yhtälö voidaan esittää kahtena eri yhtälönä, x2 = r2 – y2 ja y2 = r2 – x2, joista kumpikin määrittelee toisen muuttujista (x tai y) toisen muuttujan suhteen. Kumpikin näistä yhtälöistä koostuu kuitenkin itse asiassa kahdesta vastakkaismerkkisestä yhtälöstä, jotka piirtäisivät vain ympyrän toisen puoliskon kuvaajan kartesiolaiselle tasolle. Kun x- ja y-koordinaatit muunnetaan parametriseen muotoon, ne määritellään t:n funktioina, jotka edustavat kulmia tässä muodossa: x = r cos t ja y = r sin t, ja siten piirtävät koko ympyrän. Näitä parametrisia yhtälöitä kutsutaan polaariyhtälöiksi.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.