Mitä fraktaalit ovat ja miksi minun pitäisi välittää niistä?

Fraktaaligeometria on 1970-luvulla syntynyt matematiikan ala, jonka on kehittänyt pääasiassa Benoit Mandelbrot. Jos olet jo kuullut fraktaaleista, olet luultavasti nähnyt alla olevan kuvan. Sitä kutsutaan Mandelbrotin joukoksi, ja se on esimerkki fraktaalimuodosta.

Koulussa oppimassasi geometriassa oli kyse siitä, miten muodostetaan muotoja; fraktaaligeometria ei poikkea tästä. Kun klassisessa geometriassa oppimasi muodot olivat ”sileitä”, kuten ympyrä tai kolmio, fraktaaligeometriassa syntyvät muodot ovat ”karheita” ja äärettömän monimutkaisia. Fraktaaligeometriassa on kuitenkin edelleen kyse muotojen tekemisestä, muotojen mittaamisesta ja muotojen määrittelystä, aivan kuten koulussa.

On kaksi syytä, miksi sinun pitäisi välittää fraktaaligeometriasta:

1. Prosessi, jolla muodot tehdään fraktaaligeometriassa, on hämmästyttävän yksinkertainen mutta silti täysin erilainen kuin klassisessa geometriassa. Kun klassinen geometria käyttää kaavoja muodon määrittelyyn, fraktaaligeometria käyttää iteraatiota. Siksi se irtautuu Pythagoraan, Platonin ja Eukleideen kaltaisista jättiläisistä ja suuntaa toiseen suuntaan. Klassista geometriaa on tutkittu yli 2000 vuotta, fraktaaligeometriaa vain 40 vuotta.

2. Fraktaaligeometriasta syntyvät muodot näyttävät luonnonmukaisilta. Tämä on hämmästyttävä tosiasia, jota on vaikea sivuuttaa. Kuten kaikki tiedämme, luonnossa ei ole täydellisiä ympyröitä eikä täydellisiä neliöitä. Sen lisäksi, kun tarkastellaan puita, vuoria tai jokijärjestelmiä, ne eivät muistuta mitään muotoja, joihin on totuttu matematiikassa. Yksinkertaisilla kaavoilla, joita toistetaan useita kertoja, fraktaaligeometria voi kuitenkin mallintaa näitä luonnonilmiöitä hälyttävän tarkasti. Jos voit käyttää yksinkertaista matematiikkaa saadaksesi asiat näyttämään maailman kaltaisilta, tiedät olevasi voittajalla. Fraktaaligeometria tekee tämän helposti.

Tässä blogikirjoituksessa annetaan nopea yleiskatsaus fraktaalimuotojen tekemiseen ja näytetään, miten nämä muodot voivat muistuttaa luontoa. Sen jälkeen puhutaan ulottuvuudesta, joka on hieno tapa mitata fraktaaleja. Lopuksi keskustellaan siitä, miten fraktaaligeometriasta on myös hyötyä, koska fraktaalimuodon rakenteeseen voidaan lisätä satunnaisuutta. Postaus ei vaadi juuri lainkaan matematiikkaa ja sisältää paljon kauniita kuvia

Miten tehdään fraktaalimuoto

Normaalissa geometriassa muodot määritellään sääntöjen ja määritelmien avulla. Esimerkiksi kolmio koostuu kolmesta suorasta viivasta, jotka ovat yhteydessä toisiinsa. Säännöt ovat, että jos sinulla on kolmion kaikkien kolmen sivun pituus, se on täysin määritelty, myös jos sinulla on yhden sivun pituus ja kaksi vastaavaa kulmaa, kolmio on myös määritelty. Vaikka kolmiota määrittelevät säännöt ovat yksinkertaiset, niistä on syntynyt valtava määrä hyödyllistä matematiikkaa, esimerkiksi Pythagoraan teoria, sin(), cos() ja tan(), todiste siitä, että lyhin etäisyys kahden pisteen välillä on suora jne.

Fraktaaligeometria määrittelee myös muotoja sääntöjen avulla, mutta nämä säännöt ovat erilaisia kuin klassisessa geometriassa. Fraktaaligeometriassa muoto tehdään kahdessa vaiheessa: ensin tehdään sääntö siitä, miten tietty (yleensä klassisesti geometrinen) muoto muutetaan. Sitten tätä sääntöä sovelletaan muotoon uudelleen ja uudelleen, kunnes se on ääretön. Kun matematiikassa muutetaan jotakin, sitä kutsutaan yleensä funktioksi, joten tapahtuu niin, että funktiota sovelletaan muotoon rekursiivisesti, kuten alla olevassa kaaviossa.

Kun se on toistettu äärettömän monta kertaa, syntyy fraktaalimuoto. Mitä nämä funktiot sitten ovat? Mitä tarkoitat loputtomasti toistuvalla toistolla? Kuten aina, tämä selitetään parhaiten esimerkin avulla…

Hyvää fraktaalimuotoa kutsutaan von Kochin käyräksi. Säännöt eli funktio on äärimmäisen yksinkertainen. Ensin aloitetaan suorasta viivasta. Tämä on ”alkumuotosi”:

Säännöt ovat seuraavat:

1. Jaa jokainen suora kolmeen yhtä suureen segmenttiin.

2. Korvaa keskimmäinen segmentti tasasivuisella kolmiolla ja poista kolmion sivu, joka vastaa alkuperäistä suoraa.

Prosessi näkyy alla olevassa kuvassa:

Tätä tapahtuu suoralle, alkuperäiselle muodollemme, kun se käy funktion läpi ensimmäisen kerran, ensimmäisen iteraation. Nyt sen tuottama muoto syötetään uudelleen funktioon toista iteraatiota varten:

Muistathan, että sääntö oli, että mikä tahansa suora viiva jaetaan kolmioiksi, joten nyt 4 suoraa jaetaan ja tehdään kolmioista. Toisen iteraation jälkeen tuotettu muoto syötetään sitten funktion läpi kolmannen kerran. Tätä on vaikea piirtää MS paintilla, joten olen käyttänyt pari kuvaa tältä verkkosivulta seuraaviin vaiheisiin:

Kun tätä on iteroitu äärettömän monta kertaa, fraktaalimuoto on määritelty. Tämä saattaa kuulostaa hämmentävältä, mutta sitä on silti mahdollista analysoida matemaattisesti ja visuaalisesti voi nähdä, miltä muoto alkaa näyttää. Alla oleva gif (Wikipediasta) havainnollistaa hyvin, miltä käyrä näyttää zoomaamalla sitä:

Von Kochin käyrä on loistava esimerkki fraktaalista: sääntö, jota sovelletaan, on yksinkertainen, mutta silti se johtaa niin monimutkaiseen muotoon. Tällaista muotoa on mahdotonta määritellä perinteisellä matematiikalla, mutta niin helppo määritellä fraktaaligeometrian avulla.

Ketä siis kiinnostaa von Kochin käyrä? Eivätkö matemaatikot vain tuhlaa aikaa outoihin muotoihin? Riippuu kai siitä, miten sitä katsoo, mutta minä olen vakuuttunut siitä, että se on hyödyllinen, koska se näyttää täsmälleen lumihiutaleelta. Tämä käy selvemmin ilmi, jos alkumuoto, josta lähdetään liikkeelle, on pikemminkin kolmio kuin suora viiva:

Matematiikan tarkoituksesta voidaan keskustella, mutta insinöörinä olen taipuvainen sanomaan, että yksi sen tarkoituksista on yrittää jäljitellä ympäröivää maailmaa. Fraktaalimatematiikassa syntyvät muodot eroavat niin paljon tavanomaisista matemaattisista muodoista ja ovat niin samankaltaisia meitä ympäröivän maailman kanssa, että en voi olla innostumatta tästä aiheesta. Kaksi muuta muotoa, jotka ovat suosikkejani, ovat Barnsley Fern:

ja fraktaalipuut:

Nämä eivät ole piirustuksia tai kuvia, vaan matemaattisia muotoja. Jos katsot muotoja, voit nähdä, mikä funktio toistaa itseään. Esimerkiksi Barsley Fernissä funktio on piirtää jokaisesta suorasta viivasta noin 30 kohtisuoraa viivaa. Funktio toistaa itseään ja näyttää saniaiselta. Puussa näet, että jokainen viiva haarautuu kahdesti, mikä on funktio, joka toistaa itseään. Toinen ominaisuus näissä muodoissa (vaikkakaan ei varsinaisesti kaikissa fraktaaleissa) on se, että ne ovat itsesimilaarisia. Tämä tarkoittaa sitä, että muoto näyttää itseltään samanlaiselta riippumatta siitä, kuinka paljon sitä suurennat tai pienennät. Jos esimerkiksi yllä olevasta puusta katkaisisit oksan ja nostaisit sen pystyyn, se näyttäisi samalta kuin alkuperäinen puu. Jos ottaisit oksasta oksan ja nostaisit sen pystyyn, se näyttäisi edelleen alkuperäiseltä puulta. Tämäkin on ominaisuus, joka esiintyy luonnossa, mutta ennen fraktaaligeometriaa ei ollut hyvää tapaa esittää sitä matematiikassa.

Ei pelkästään se, että nämä muodot näyttävät luonnollisilta objekteilta, vaan iterointiprosessi kuulostaa intuitiiviselta luontoa ajatellen. Kun puu kasvaa, sen runko luo oksia, nämä oksat luovat lisää oksia, nämä oksat luovat oksia. Toiminto on ikään kuin geneettinen koodi, joka kertoo oksalle, miten sen tulee kasvaa ja toistaa itseään ja luoda lopulta muotoja, jotka ovat ”luonnollisia”. Tämä saattaa kuulostaa pseudotieteeltä (sitä se varmasti onkin), mutta mielestäni nämä ovat harkitsemisen arvoisia käsitteitä, kun pystytään jäljittelemään luontoa niin tarkasti.

Oikein tarpeeksi luonnosta, aika puhua siitä, miten fraktaaleilla on hulluja ulottuvuuksia.

Dimensionaalit

Nyt tiedämme, mitä fraktaalimuodot ovat ja miten niitä tehdään, haluaisimme siis tietää muutamia asioita niistä. Yksi ensimmäisistä asioista, joita yritämme selvittää, on joidenkin näiden muotojen pituus. Palataanpa takaisin von Kochin käyrään.

Jotta voimme selvittää, kuinka pitkä koko von Kochin käyrä on (sen jälkeen, kun sitä on iteroitu äärettömän monta kertaa), on hyödyllistä miettiä, mitä tapahtuu ensimmäisessä vaiheessa uudestaan:

Viiva jaetaan kolmeen osaan, minkä jälkeen keskimmäinen osa korvataan kahdella viivalla, jotka ovat yhtä pitkiä kuin se (koska se on yhtä pitkä kolmio). Jos siis alkuperäisen suoran pituus oli 1, käyrän pituus ensimmäisen iteraation jälkeen on 4/3. Osoittautuu, että joka kerta, kun muoto iteroidaan, se pitenee 4/3:lla. Käyrän pituus toisen iteraation jälkeen on siis 4/3 x 4/3 = 16/9:

Koska 4/3 on suurempi kuin 1, suora pitenee joka kerta, kun funktiota iteroidaan. Kun funktiota iteroidaan äärettömän monta kertaa, koko von Kochin käyrän kehä on äärettömän pitkä! Näin on kaikkien fraktaalimuotojen kohdalla: niillä on äärettömän pitkät ympärysmitat. Tästä ei ole hyötyä matemaatikoille, joten he eivät mittaa muodon kehää. Nyt seuraavat kappaleet vaativat hieman abstraktia ajattelua, mutta jos ajattelet hieman laatikon ulkopuolella, siinä on järkeä.

Ympärysmitta mittaa pituutta jonkin asian ympärillä. Pituus on yksiulotteinen avaruuden mitta. Pituus on 1D, koska se mittaa vain suoraa viivaa. Tilan 2D-mitta on pinta-ala, 3D on tilavuus. Nyt olemme osoittaneet, että fraktaalikuvioita ei ole hyödyllistä mitata 1-ulotteisesti, koska ne ovat äärettömän pitkiä, mutta outoa on se, että fraktaalimuodot eivät ole 1D, 2D tai 3D. Jokaisella fraktaalimuodolla on oma ainutkertainen ulottuvuutensa, joka on yleensä numero, jossa on desimaali.

Fraktaalimuodon ulottuvuus on mittari sille, kuinka nopeasti muodosta tulee monimutkainen, kun sitä toistetaan. Mitä tarkoitamme monimutkaistumisella? No von Kochin käyrältä näkee, että ensimmäiset iteraatiot tuottavat melko yksinkertaisia muotoja, mutta noin iteraation 4 kohdalla se alkaa muuttua melko pieneksi ja monimutkaiseksi.

Tapa mitata, kuinka nopeasti muoto muuttuu monimutkaiseksi, ja siten sen ulottuvuus, on mitata, kuinka paljon pidemmäksi ympärysmitta kasvaa jokaisen iteraation jälkeen. Tämä on intuitiivisesti järkevää, sillä jos viiva pitenee paljon jokaisen iteraation jälkeen, siitä tulee luultavasti hyvin nopeasti hyvin monimutkainen, kun taas jos viiva pysyy jokseenkin samanpituisena jokaisen iteraation jälkeen, siitä ei luultavasti tule kovin monimutkainen.

Kuten olemme jo osoittaneet, von Kochin käyrä pitenee 4/3:lla joka iteraatiolla. Tämä tarkoittaa, että von Kochin käyrä on 4/3 D eli 1.3333…D. Aika hullua, eikö? Se on jossain 1D:n ja 2D:n välissä. Mutta tämä mitta on todella hyödyllinen matemaatikoille, koska se antaa tietoa muodosta (kun taas kehä ei anna, se on aina ääretön). Jos esimerkiksi olisi olemassa toinen fraktaalimuoto, joka olisi 1,93D, voitaisiin varmuudella sanoa, että tämä muoto muuttuu monimutkaisemmaksi nopeammin kuin von Kochin käyrä, koska ympärysmitta pitenee jokaisen iteraation jälkeen 1,93 kertaa 1,3333:n sijaan, mikä tarkoittaa, että se muuttuu monimutkaisemmaksi nopeammin. Fraktaalimuotoa tutkittaessa sen ulottuvuuden tunteminen on olennaisen tärkeää.

Sattumanvaraisuus

Viimeisenä aion puhua siitä, että fraktaalimuotoihin voidaan lisätä satunnaisuutta. Satunnaisia (tai näennäisen satunnaisia) tapahtumia esiintyy luonnossa koko ajan ja ne vaikuttavat eri asioihin monin eri tavoin, esimerkiksi suuri osa informaatiotekniikasta on tekemisissä kohinan kanssa, joka satunnaisesti heiluttaa elektronista signaalia. Kun tätä yritetään jäljitellä, signaalin päälle lisätään yleensä satunnaisuutta. Esimerkiksi elektroniikassa luodaan mukava siniaalto ja lisätään sen päälle kohinaa (lainattu tältä verkkosivulta):

Alhaalla oleva kuva on ”puhdas” aalto, ja ylhäällä oleva kuva on aalto, johon on lisätty kohinaa. Luontainen oletus tätä tehdessä on, että taustalla on ”puhdas” signaali, jota muutetaan satunnaisesti. Vaikka tämä voi pitää paikkansa monessa elektroniikassa, samaa ei voi sanoa luonnosta. Usein ei ole olemassa ”puhdasta” muotoa, joka muuttuu satunnaisesti reunoiltaan (esimerkiksi luonnossa ei ole paljon sumeaa neliötä), vaan satunnaisuus vaikuttaa itse muodon rakenteeseen sen kehityksen jokaisessa vaiheessa. Klassinen geometria ei ole hyvä sisällyttämään satunnaisuutta muotoihin, kun taas fraktaaligeometria pystyy siihen helposti. Käännymme viimeisen kerran von Kochin käyrän puoleen. Tällä kertaa lisäämme siihen kuitenkin satunnaisuutta.

Tiedämme, että sääntö on, että jokaisella iteraatiokerralla luodaan kolmio viivan keskimmäiseen kolmannekseen. Kuitenkin joka kerta kolmiot ovat aina ’ulospäin’. Voisimme lisätä satunnaisuutta sanomalla, että jokaisen luodun kolmion kohdalla se menee joko viivan ylä- tai alapuolelle riippuen kolikonheitosta:

Nyt muoto kehittyy satunnaisesti kolikonheiton mukaan. Esimerkiksi useiden iteraatioiden jälkeen von Kochin käyrä voi näyttää tältä:

tai se voi näyttää täysin erilaiselta. Tässä on hienoa se, että voit lisätä satunnaisuutta itse muotoon sen sijaan, että lisäät sen olemassa olevan muodon päälle. Tässä on jännittävää potentiaalia, esimerkiksi (palatakseni takaisin luontoon) tämä voi olla hyvä tapa mallintaa satunnaisia geneettisiä mutaatioita.