Jonkin joukon {x1, x2, …, xn} absoluuttinen keskipoikkeama (mean absolute deviation of a set {x1, x2, …, xn}) on
1 n ∑ i = 1 n | x i – m ( X ) | . {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.}
Keskisuuntauksen mittarin valinta, m ( X ) {\displaystyle m(X)}
, vaikuttaa huomattavasti keskihajonnan arvoon. Esimerkiksi aineistossa {2, 2, 2, 3, 4, 14}:
| Keskisuuntauksen mitta m ( X ) {\displaystyle m(X)}
|
Keskiarvon absoluuttinen poikkeama |
|---|---|
| Keskiarvo = 5 | | 2 – 5 | + | 2 – 5 | + | 3 – 5 | + | 4 – 5 | + | 4 – 5 | + | 14 – 5 | 5 = 3.6 {\displaystyle {\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3.6}
 |
| Mediaani = 3 | | 2 – 3 | + | 2 – 3 | + | 3 – 3 | + | 3 – 3 | + | 4 – 3 | + | 4 – 3 | + | 14 – 3 | 5 = 2.8 {\displaystyle {\frac {||2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}}{5}}=2.8}}
 |
| Mode = 2 | | 2 – 2 | + | 2 – 2 | + | 2 – 2 | + | 3 – 2 | + | 4 – 2 | + | 4 – 2 | + | 14 – 2 | 5 = 3.0 {\displaystyle {\frac {||2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}}{5}}=3.0}}
 |
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaanista on pienempi tai yhtä suuri kuin keskimääräinen absoluuttinen poikkeama keskiarvosta. Itse asiassa keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaanista on aina pienempi tai yhtä suuri kuin keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mistä tahansa muusta kiinteästä luvusta.
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama keskiarvosta on pienempi tai yhtä suuri kuin keskihajonta; yksi tapa todistaa tämä perustuu Jensenin epätasa-arvoon.
Jensenin epätasa-arvo on φ ( E ) ≤ E {\displaystyle \varphi \left(\mathbb {E} \right)\leq \mathbb {E} \left}
,missä φ on kovera funktio, tämä merkitsee Y = | X – μ | {\displaystyle Y=\vert X-\mu \vert }
että: E ( | X – μ | ) 2 ≤ E ( | X – μ | 2 ) {\displaystyle \mathbb {E} \left(|X-\mu \right|)^{2}\leq \mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)} \left(|X-\mu |^{2}\right)}
E ( | X – μ | ) 2 ≤ Var ( X ) {\displaystyle \mathbb {E} \left(|X-\mu \right|)^{2}\leq \operatorname {Var} (X)}
Koska molemmat puolet ovat positiivisia ja neliöjuuri on monotonisesti kasvava funktio positiivisella alueella:
E ( | X – μ | ) ≤ Var ( X ) {\displaystyle \mathbb {E} \left(|X-\mu \right|)\leq {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}
Tämän väitteen yleistapauksesta katso Hölderin epätasa-arvo.
Normaalijakauman osalta absoluuttisen keskihajonnan ja keskihajonnan suhde on 2 / π = 0.79788456 … {\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }
. Jos siis X on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on 0, niin, ks. Geary (1935): w = E | X | E ( X 2 ) = 2 π . {\displaystyle w={\frac {E|X|}{\sqrt {E(X^{2})}}}={\sqrt {\frac {\frac {2}{\pi }}}.}
Muulla sanoen normaalijakauman absoluuttinen keskihajonta on noin 0,8-kertainen keskihajonta.Otoksen sisäiset mittaukset tuottavat kuitenkin keskiarvon keskihajonnan / keskihajonnan suhteen arvot tietylle gaussilaiselle otokselle n seuraavilla rajoilla: w n ∈ {\displaystyle w_{n}\in }
, jossa on harhaa pienille n:lle.
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama keskiarvon ympärilläEdit
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama (Mean Absolute Deviation, MAD), josta käytetään myös nimitystä ”keskipoikkeama” tai joskus ”keskimääräinen absoluuttinen poikkeama”, on aineiston absoluuttisten poikkeamien keskiarvo aineiston keskiarvon ympärillä: keskimääräinen (absoluuttinen) etäisyys keskiarvosta. ”Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama” voi viitata joko tähän käyttöön tai yleiseen muotoon tietyn keskipisteen suhteen (ks. edellä).
MAD:ia on ehdotettu käytettäväksi standardipoikkeaman sijasta, koska se vastaa paremmin tosielämää. Koska MAD on yksinkertaisempi vaihtelun mittari kuin keskihajonta, siitä voi olla hyötyä kouluopetuksessa.
Tämän menetelmän ennustetarkkuus liittyy hyvin läheisesti MSE-menetelmään (Mean Squared Error, keskineliövirhe), joka on vain ennusteiden keskimääräinen neliövirhe. Vaikka nämä menetelmät ovat hyvin läheisessä yhteydessä toisiinsa, MAD-menetelmää käytetään yleisemmin, koska se on sekä helpompi laskea (neliöinnin välttäminen) että helpompi ymmärtää.
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaanin ympärilläEdit
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaanin ympärillä (MAD mediaani) tarjoaa suoran mittarin satunnaismuuttujan mittakaavasta sen mediaanin ympärillä
D med = E | X – mediaani | {\displaystyle D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|}
Tämä on Laplace-jakauman asteikkoparametrin b {\displaystyle b}
suurimman todennäköisyyden estimaattori. Normaalijakaumalle on D mean = σ 2 / π ≈ 0.797884 σ {\displaystyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }
. Koska mediaani minimoi keskimääräisen absoluuttisen etäisyyden, on D med ≤ D mean {\displaystyle D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}}
ja D med = erf – 1 ( 1 / 2 ) σ ≈ 0.67449 σ {\displaystyle D_{\text{med}}=\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\sigma \approx 0.67449\sigma }
.
Käyttämällä yleistä hajontafunktiota Habib (2011) määritteli MAD:n mediaanin suhteen seuraavasti
D med = E | X – mediaani | = 2 Cov ( X , I O ) {\displaystyle D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|=2\operatorname {Cov} (X,I_{O})}
