Fraktaalit

Aloitetaan ensin fraktaalien ominaisuudesta, jonka havaitsimme Romanesco-kukkakaalissa.

Ominaisuus: Self-Similarity on ominaisuus, että kohteen zoomaaminen tuottaa loputtoman toistuvan kuvion.

Toinen esimerkki itsesimilaarisuudesta luonnossa ovat kiteytyvän veden ja lumihiutaleiden toistuvat kuviot.

”Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Miten kuvaamme nämä itsesimilaariset kuviot, ja miten luomme matemaattisesti itsesimilaarisia muotoja, jotka ovat toistettavissa millä tahansa suurennoksella? Olemme nähneet fraktaalikuvioita lumihiutaleissa, joten aloitetaan luomalla lumihiutaletta muistuttava itsesimilaarinen kuvio.

Kochin lumihiutale

Aloitetaan tasasivuisesta kolmiosta, luodaan tasasivuinen kolmio käyttämällä kummankin sivun keskimmäistä kolmannesta pohjana ja poistetaan sitten kolmion pohja. Toista nyt tämä prosessi tuloksena syntyvän kuvion jokaiselle viivapätkälle. Tässä ovat ensimmäiset iteraatiot:

Tämän prosessin jatkaminen antaa Kochin lumihiutaleen rajan. Tässä on lähikuva rajasta useiden iteraatioiden jälkeen:

Koska Kochin lumihiutaleeseen zoomaamalla saadaan käyrä, joka on kopio itsestään pienemmässä mittakaavassa (jota kutsutaan Kochin käyräksi), Kochin lumihiutale osoittaa itsesimilarisuutta.

Jos tasasivuisen kolmion, josta lähdemme liikkeelle, sivun pituus on 1, huomaamme, että korvaamalla jokainen viivapätkä 444:llä kolmanneksen pituisella pätkällä, kerromme pituuden 43:lla \frac{4}{3} 34 jokaisella askeleella. Tämä osoittaa, että nnn askeleen jälkeen kehän pituus on 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, joten Kochin tähdellä on ääretön kehä, jos se mitataan 1-ulotteisena käyränä.

Mutta kuten näemme myöhemmin, tämä johtuu siitä, että Kochin lumihiutaleen pitäisi ajatella olevan enemmän kuin yksiulotteinen ja se, että yritetään mitata muotoa väärässä ulottuvuudessa, antaa merkityksettömän vastauksen. Tämä on samanlaista kuin yrittäisi mitata hyvin ohuen langan määrää, joka tarvitaan 2-ulotteisen neliön peittämiseen. Tarvitsisimme äärettömän pitkän langan, koska yritämme mitata kaksiulotteista kohdetta yksiulotteisella käyrällä.

Kochin lumihiutale osoittaa, että vaikka fraktaalit ovat monimutkaisia, niitä voidaan luoda soveltamalla toistuvasti yksinkertaisia sääntöjä. Voimme ajatella Kochin lumihiutaleen aloituskolmiota aloittajana ja vaihetta, jossa jokainen viiva korvataan huipulla, generaattorina. Jos sen sijaan aloitamme viivasegmentistä aloittajana ja käytämme seuraavaa generaattoria, saamme erilaisen kuvion.

Nämä esimerkit osoittavat seuraavat fraktaalien ominaisuudet.

Fraktaaleissa on yksityiskohtia mielivaltaisen pienillä mittakaavoilla ja niissä esiintyy epäsäännöllisyyttä, jota ei voida kuvata perinteisellä geometrisella kielellä.

Muulla sanoen fraktaalit ovat kohteita, jotka eivät millään suurennoksella koskaan ”tasaannu” näyttämään euklidiselta avaruudelta.

Sierpinskin tiiviste

Sierpinskin tiiviste on kolmio, joka koostuu pienemmistä itsensä kopioista. Aloitetaan täytetystä kolmiosta, yhdistetään kaikkien sivujen keskipisteet, poistetaan keskimmäinen kolmio ja iteroidaan jäljelle jäävien kolmen täytetyn kolmion kanssa.

Jos aloitetaan kolmiosta, jonka sivun pituus on 111, mikä on Sierpinskin tiivisteen (mustalla väritetyn tilan) pinta-ala nnn:nnessä vaiheessa? Huomaa, että mustien kolmioiden lukumäärä nnn:nnssä askeleessa on 3n3^n3n ja kolmion sivun pituus nnn:nnssä askeleessa on (12)n\left( \frac{1}{2} \right)^n(21)n. Silloin mustan tilan pinta-ala nnn:nnssä askeleessa on 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n kertaa alkuperäisen kolmion pinta-ala, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Tämä lähestyy 0:ta, kun nnn menee äärettömään. Kuten Kochin lumihiutaleen kohdalla, Sierpinskin tiivisteen tulisi ajatella olevan ulottuvuudeltaan pienempi kuin 2, ja sen mittaaminen väärässä ulottuvuudessa antaa merkityksettömän vastauksen.